康康同學(xué)在研究等邊三角形，如圖1，已知△ABC是等邊三角形，D為BC邊的中點(diǎn)，E為中線AD上一點(diǎn)（E不可取A點(diǎn)，可取D點(diǎn)），點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)是點(diǎn)F．連接AF，EF，BF．
（1）①在圖1中補(bǔ)全圖形；
②他發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在中線AD上運(yùn)動時，△AEF是一種特殊三角形．
請你回答△AEF是 等邊等邊三角形；
③利用圖1證明這個結(jié)論．
（2）康康同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)E點(diǎn)在中線AD上運(yùn)動時，BF的長度也有規(guī)律的變化．當(dāng)BF為最大值時，在圖2中畫出點(diǎn)F，并連接AF，BF，BF與AC交于點(diǎn)P．
①按要求畫出圖形；
②在AF上存在一點(diǎn)Q，使PQ+QC的值最小，猜想這最小值 ==BP（填＞，＜，=）；
③證明②的結(jié)論．
（3）在邊AC上存在一點(diǎn)M，同時滿足BM-ME的值最大且BM+ME的值最小，則此時MC與AC的數(shù)量關(guān)系是 MC=12ACMC=12AC．
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【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】等邊；=；MC=AC
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【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：333引用：1難度：0.1
相似題
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1．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“朋友三角形”．
性質(zhì)：“朋友三角形”的面積相等．
如圖1，在△ABC中，CD是AB邊上的中線．
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
應(yīng)用：如圖2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=4，BC=6，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上，BE=AF，AE與BF交于點(diǎn)O．
（1）求證：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）連接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四邊形CDOE的面積．
拓展：如圖3，在△ABC中，∠A=30°，AB=8，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，則△ABC的面積是 （請直接寫出答案）．14
發(fā)布：2025/6/3 22:30:1組卷：470引用：5難度：0.3 -
2．綜合與實踐
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-3，4），B（-3，0），將線段AB向下平移2個單位長度，再向右平移5個單位長度，得到線段CD，連接AC，BD，分別與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，連接PC，PD．
（1）如圖1，直接寫出點(diǎn)C與點(diǎn)D的坐標(biāo)：C（ ），D（ ）．
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時，求證：∠ACP+∠BDP=∠CPD．
（3）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方時，直接寫出∠ACP、∠BDP、∠CPD的數(shù)量關(guān)系：；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F的下方時，直接寫出∠ACP、∠BDP、∠CPD的數(shù)量關(guān)系：．發(fā)布：2025/6/3 22:30:1組卷：36引用：1難度：0.2 -
3．已知在數(shù)軸上，從左往右依次有四個點(diǎn)A，C，D，B，其中點(diǎn)A，B對應(yīng)的數(shù)分別為-7和9．
（1）利用直尺和圓規(guī)作圖：如圖1，已知線段AC，CD，DB，在數(shù)軸上方，求作△ECD，使得EC=AC，ED=BD（只保留作圖痕跡）；
?（2）在（1）的條件下，在數(shù)軸上找一點(diǎn)F，直接作出直線EF，使得直線EF平分△ECD的周長；
（3）如圖2，在△ECD中，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線交ED于M，交CD的延長線于N，若DM=DN，求證：直線GN平分△ECD的周長；
（4）如圖3，若EC=ED，點(diǎn)P在邊CE上，點(diǎn)Q在邊ED上，且PQ平分△ECD的周長．
請問線段PQ的長是否為定值？若是定值，請說明理由；若不是定值，當(dāng)EP與EQ滿足什么關(guān)系時，線段PQ最短，并說明理由．
?發(fā)布：2025/6/3 22:30:1組卷：84引用：2難度：0.2