已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左焦點(diǎn)F（-3，0），且離心率e=32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N不是左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
F
（
-
3
，
0
）
e
=
3
2
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（Ⅰ）．
（II）證明：設(shè)M（x1，y1） N（x2，y2），
右頂點(diǎn)A（2，0）
，
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A，
∴（2-x2）（2-x1）+y1y2=0，
∵y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
∴4+（km-2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0 ①
把y=kx+m代入橢圓方程，
得+（kx+m）2=1，
整理，得（+k2）x2+2kmx+m2-1=0，
所以x1x2=，x1+x2=- ，②
把②入①，得
4+（km-2）?（- ）+（1+k2）?+m2
=（5m2+16km+12k2）÷（1+4k2）
=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k2）
=0
所以m+2k=0 或者 m+k=0
當(dāng)m+2k=0時(shí)，直線y=kx-2k恒過點(diǎn)（2，0）和A點(diǎn)重合顯然不符合
當(dāng)m+k=0時(shí) 直線恒過點(diǎn)（，0）符合題意
所以該定點(diǎn)坐標(biāo)就是（，0）．
x
2
4
+
y
2
=
1
（II）證明：設(shè)M（x1，y1） N（x2，y2），
右頂點(diǎn)A（2，0）
AM
=
（
2
-
x
1
，
y
1
）
，
AN
=
（
2
-
x
2
，
y
2
）
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A，
∴（2-x2）（2-x1）+y1y2=0，
∵y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
∴4+（km-2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0 ①
把y=kx+m代入橢圓方程
x
2
4
+
y
2
=
1
得
x
2
4
整理，得（
1
4
所以x1x2=
m
2
-
1
1
4
+
k
2
2
km
1
4
+
k
2
把②入①，得
4+（km-2）?（-
2
km
1
4
+
k
2
m
2
-
1
1
4
+
k
2
=（5m2+16km+12k2）÷（1+4k2）
=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k2）
=0
所以m+2k=0 或者 m+
6
5
當(dāng)m+2k=0時(shí)，直線y=kx-2k恒過點(diǎn)（2，0）和A點(diǎn)重合顯然不符合
當(dāng)m+
6
5
6
5
所以該定點(diǎn)坐標(biāo)就是（
6
5
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：152引用：6難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7