在某探究課《矩形的折疊》中，每個(gè)小組分到了相同大小的矩形紙張ABCD，AB=10cm,BC=30cm,各小組通過對(duì)該紙張的折疊探究了各種不同的折疊問題．
| 小組 | 探究?jī)?nèi)容 | 圖形 |
| 第一小組 | 把△ABC沿AC折疊，與△ACD重疊部分記為△ACM． |
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| 第二小組 | 步驟：1：把矩形ABCD沿EF折疊，使得AB與DC重合，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)． 步驟2：P為邊BC上動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），△APB沿AP折疊得到△APB'． |
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| 第三小組 | 步驟1：把矩形ABCD沿GH折疊，使得AD與BC重合，點(diǎn)G，H分別為AB，DC上的點(diǎn)． 步驟2：P為邊BC上動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合）， PB沿過點(diǎn)P的一條折痕折疊得到PB'． |
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（1）根據(jù)第一小組探究?jī)?nèi)容，求證：△ACM是等腰三角形．
（2）根據(jù)第二小組探究?jī)?nèi)容，當(dāng)P，B'，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求BP的長(zhǎng)度．
（3）根據(jù)第三小組探究?jī)?nèi)容，過點(diǎn)P的折痕使B'落在線段GH上，請(qǐng)直接寫出折痕條數(shù)與BP長(zhǎng)度取值范圍的關(guān)系．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見解答．
（2）．
（3）當(dāng)BP=5 時(shí)，有1條折痕；當(dāng)時(shí)，有2條折痕；當(dāng)時(shí)，只有1條折痕．
（2）
15
±
5
5
（3）當(dāng)BP=5 時(shí)，有1條折痕；當(dāng)
5
＜
BP
≤
185
12
185
12
＜
BP
＜
30
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/2 8:0:9組卷：378引用：1難度：0.2
相似題
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1．【問題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖①，在正方形ABCD中，G是BC上一點(diǎn)（點(diǎn)G與B，C不重合），AE⊥DG交DG于點(diǎn)E，CF⊥DG交DG于點(diǎn)F．試猜想線段AE，CF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
【延伸探究】
（2）在其余條件不變的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AE，交DC于點(diǎn)H，連接AG，BH，交于點(diǎn)P，如圖②．求證：AG⊥BH；
【問題解決】
（3）如圖③是一塊邊長(zhǎng)為1米的正方形鋼板ABCD．由于磨損，該鋼板的頂點(diǎn)B，C，D均不能使用，王師傅計(jì)劃過點(diǎn)A裁出一個(gè)形如四邊形AEGF的零件，其中點(diǎn)F，E，G分別在AB，CD，BC邊上，且F為AB的中點(diǎn)，GF⊥GE交DC于點(diǎn)E，連接AE，求王師傅能裁出四邊形AEGF的最大面積是多少？發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：293引用：2難度：0.3 -
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD中心在原點(diǎn)，且頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，繞著正方形的邊按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)回到A點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接OP、OQ，線段OP、OQ與正方形的邊圍成的面積較小部分的圖形記為M．
（1）請(qǐng)寫出B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若P、Q的速度均為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，試判斷在運(yùn)動(dòng)過程中，M的面積是否發(fā)生變化，如果不變求出該值，如果變化說明理由；
（3）若P點(diǎn)速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，Q點(diǎn)為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，當(dāng)M的面積為時(shí)，求t的23
值．發(fā)布：2025/5/23 9:0:2組卷：270引用：2難度：0.1 -
3．問題提出
（1）如圖①，在矩形ABCD的邊BC上找一點(diǎn)E，將矩形沿直線DE折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，再在AB上找一點(diǎn)F，將矩形沿直線DF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在DC上，則∠EDF=．
問題探究
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點(diǎn)P是矩形ABCD邊AB上一點(diǎn)，連接PD、PC，將△ADP、△BCP分別沿PD、PC翻折，得到△A′DP、△B′PC，當(dāng)P、A′、B′三點(diǎn)共線時(shí)，則稱P為AB邊上的“優(yōu)疊點(diǎn)”，求此時(shí)AP的長(zhǎng)度．
問題解決
（3）如圖③，矩形ABCD位于平面直角坐標(biāo)系中，AD=4，AD＜AB，點(diǎn)A在原點(diǎn)，B，D分別在x軸與y軸上，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是CD和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持DE+BF=4．當(dāng)點(diǎn)P是AB邊上唯一的“優(yōu)疊點(diǎn)”時(shí)，連接PE交BD于點(diǎn)M，連接PF交BD于點(diǎn)N，請(qǐng)問DM+BN是否能取得最大值？如果能，請(qǐng)確定此時(shí)點(diǎn)M的位置（即求出點(diǎn)M的坐標(biāo)）及四邊形ADEP的面積，若不能，請(qǐng)說明理由．
發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：691引用：1難度：0.1