如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-43x2-83x+4與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．
（1）求線段AC的長度；
（2）如圖1，點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD∥AC交y軸于點(diǎn)D，連接PD交AC于點(diǎn)E，連接BP，求△PBE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原拋物線對稱軸對稱，將原拋物線沿著射線AQ方向平移5個單位，得到新拋物線y'，M為直線l：y=x+133與y軸的交點(diǎn)，N為直線l上一點(diǎn)，將直線l繞著點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到直線l′，交新拋物線于點(diǎn)G，點(diǎn)H為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，直接寫出所有使得四邊形MNGH為菱形的點(diǎn)G的橫坐標(biāo)．
y
=
-
4
3
x
2
-
8
3
x
+
4
5
l
：
y
=
x
+
13
3
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）線段AC的長度為5；
（2）S△PBE的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，5）；
（3）點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為-或或-或．
（2）S△PBE的最大值為
3
2
3
2
（3）點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為-
3
3
+
3
19
8
3
19
-
3
3
8
3
3
4
3
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2025/5/21 12:0:1組卷：601引用：2難度：0.2
相似題
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1．在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“相等點(diǎn)”．例如（1，1），（2023，2023）…都是“相等點(diǎn)”．
（1）函數(shù)圖象上的“相等點(diǎn)”坐標(biāo)是 ；y=9x
（2）已知⊙P的圓心在直線y=2x-1上且半徑為5，若該圓上有且僅有一個“相等點(diǎn)”，請求出圓心P的坐標(biāo)；
（3）若拋物線y=ax2+5x+c上有且僅有一個“相等點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)a＜-1時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得∠QNM=∠ENM，如果存在，請求出點(diǎn)Q坐標(biāo)（用含a或c的代數(shù)式表示）；如果不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/21 19:30:2組卷：249引用：1難度：0.4 -
2．如圖1，拋物線C1：y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C（0，
）三點(diǎn)，直線DF為該拋物線的對稱軸，連接線段AC，∠CAB的平分線AE交拋物線C1于點(diǎn)E．3
（1）求拋物線C1的表達(dá)式；
（2）如圖1，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，將原拋物線沿對稱軸向下平移經(jīng)過點(diǎn)C′得到拋物線C2，在射線AE上取點(diǎn)Q，連接CQ，將射線QC繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°交拋物線C2于點(diǎn)P，當(dāng)△CAQ為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線C1沿一定方向平移，使頂點(diǎn)D′落在射線AE上，平移后的拋物線C3與線段CB相交于點(diǎn)M、N，線段CB與DF相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q恰好為線段MN的中點(diǎn)時(shí)，求拋物線C3的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
發(fā)布：2025/5/21 19:30:2組卷：1035引用：2難度：0.1 -
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（0，2），點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)E是x軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m,0），過點(diǎn)E作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)P．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形CDQP是平行四邊形時(shí)，求m的值；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△BDP是不以BD為斜邊的直角三角形？如果存在請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/21 19:30:2組卷：1039引用：3難度：0.1