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《見微知著》讀到:從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā),從特殊到一般,由簡單到復(fù)雜:從部分到整體,由低維到高維,知識與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑,是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、結(jié)論的重要方法.
閱讀材料一:利用整體思想解題,運用代數(shù)式的恒等變形,使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法,常用的途徑有:(1)整體觀察;(2)整體設(shè)元;(3)整體代入;(4)整體求和等.
例如:ab=1,求證:
1
1
+
a
+
1
1
+
b
=
1

證明:左邊=
1
1
+
a
+
1
1
+
b
=
ab
ab
+
a
+
1
1
+
b
=
b
1
+
b
+
1
1
+
b
=
1

波利亞在《怎樣解題》中指出:“當(dāng)你找到第一個藤菇或作出第一個發(fā)現(xiàn)后,再四處看看,他們總是成群生長”類似問題,我們有更多的式子滿足以上特征:
閱讀材料二
基本不等式
a
+
b
2
ab
(a>0,b>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立,它是解決最值問題的有力工具.
例如:在x>0的條件下,當(dāng)x為何值時,
x
+
1
x
有最小值,最小值是多少?
解:∵x>0,
1
x
0
,∴
x
+
1
x
2
x
?
1
x
=
1
=
1
,即
x
+
1
x
2
,
當(dāng)且僅當(dāng)
x
=
1
x
,即x=1時,
x
+
1
x
有最小值,最小值為2,
請根據(jù)閱讀材料解答下列問題:
(1)已知ab=1,求下列各式的值:
1
1
+
a
2
+
1
1
+
b
2
=
1
1

1
1
+
a
n
+
1
1
+
b
n
=
1
1
;
(2)若abc=1,求
5
a
ab
+
a
+
1
+
5
b
bc
+
b
+
1
+
5
c
ca
+
c
+
1
的值;
(3)已知長方形的面積為9,求此長方形周長的最小值;
(4)若正數(shù)a、b滿足ab=1,求
M
=
1
1
+
a
+
1
1
+
2
b
的最小值.

【答案】1;1
【解答】
【點評】
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發(fā)布:2024/8/20 1:0:1組卷:714引用:2難度:0.3
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