已知圓E：（x+3）2+y2=16，點F（3，0），P是圓E上任意一點，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）直線l過點（1，1），且與軌跡Γ交于A，B兩點，點M滿足AM=MB，點O為坐標原點，延長線段OM與軌跡Γ交于點R，四邊形OARB能否為平行四邊形？若能，求出此時直線l的方程，若不能，說明理由．
3
3
AM
MB
【考點】直線和圓的方程的應(yīng)用．
【答案】（I）軌跡方程為：+y2=1；
（II）能，理由：
（1）當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1，顯然四邊形OARB是平行四邊形；
（2）當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l：y=kx+m，顯然k≠0，m≠0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．
聯(lián)立方程組
，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
∴x1+x2=-，
∵=，即M是AB的中點，
∴xM==-，yM=kxM+m=，
若四邊形OARB是平行四邊形，當且僅當AB，OR互相平分，
∴R（-，），
代入橢圓方程得：+=1，即16k2m2+4m2=16k4+8k2+1，
又直線l：y=kx+m經(jīng)過點（1，1），∴m=1-k，
∴16k2（1-k）2+4（1-k）2=16k4+8k2+1，
∴32k3-12k2+8k-3=0，即（4k2+1）（8k-3）=0．
∴k=，m=，
∴直線l的方程為y=x+時，四邊形OARB是平行四邊形，
綜上，直線l的方程為x=1或y=x+．
x
2
4
（II）能，理由：
（1）當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1，顯然四邊形OARB是平行四邊形；
（2）當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l：y=kx+m，顯然k≠0，m≠0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．
聯(lián)立方程組
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 = 1 |
∴x1+x2=-
8
km
1
+
4
k
2
∵
AM
MB
∴xM=
x
1
+
x
2
2
4
km
1
+
4
k
2
m
1
+
4
k
2
若四邊形OARB是平行四邊形，當且僅當AB，OR互相平分，
∴R（-
8
km
1
+
4
k
2
2
m
1
+
4
k
2
代入橢圓方程得：
16
k
2
m
2
（
1
+
4
k
2
）
2
4
m
2
（
1
+
4
k
2
）
2
又直線l：y=kx+m經(jīng)過點（1，1），∴m=1-k，
∴16k2（1-k）2+4（1-k）2=16k4+8k2+1，
∴32k3-12k2+8k-3=0，即（4k2+1）（8k-3）=0．
∴k=
3
8
5
8
∴直線l的方程為y=
3
8
5
8
綜上，直線l的方程為x=1或y=
3
8
5
8
【解答】
【點評】
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