在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，傾斜角為π4的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，且點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O連線的斜率為-12．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若|AB|=43，P是以AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：|OP|≤2+103．
x
2
a
2
y
2
b
2
π
4
1
2
4
3
2
+
10
3
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：設(shè)l：y=x+m，
聯(lián)立
，得到3x2+4mx+2m2-2=0．
∴Δ=24-8m2＞0，得m2＜3，且，．
∵|AB|=，化簡(jiǎn)得m2=2．
又∵M(jìn)為弦AB的中點(diǎn)，∴M（），故．
即|OM|=．
∵，∴|OP|．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）證明：設(shè)l：y=x+m，
聯(lián)立
y = x + m |
x 2 2 + y 2 = 1 |
∴Δ=24-8m2＞0，得m2＜3，且
x
1
+
x
2
=
-
4
m
3
x
1
x
2
=
2
m
2
-
2
3
∵|AB|=
2
?
2
2
?
3
-
m
2
3
=
4
3
又∵M(jìn)為弦AB的中點(diǎn)，∴M（
-
2
m
3
，
m
3
|
OM
|
2
=
5
9
m
2
=
10
9
即|OM|=
10
3
∵
|
OP
|
≤
|
OM
|
+
1
2
|
AB
|
≤
10
3
+
2
3
=
2
+
10
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：55引用：2難度：0.4
相似題
-
1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：371引用：4難度：0.5 -
2．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4568引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：460引用：3難度：0.6