| 倍長中線（Method of times the length of line） 倍長中線的意思是：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等，此法常用于構造全等三角形，利用中線的性質、輔助線、對頂角一般用“SAS”證明對應邊之間的關系． |
（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，點E在BC上，BE：CE=1：2，BD與AE相交于點P，延長BD至點F，使得BD=DF，連接AF，求
AP
PE
王林同學根據(jù)題意寫出了如下不完整的求解過程，請補全其過程．
| 解：設BE=k,則CE= 2k 2k ；∵BD是AC邊上的中線， ∴AD=CD； ∵在△BCD和△FAD中，
∴△BCD≌△FAD（ SAS SAS ）∴ ∠CBD ∠CBD =∠AFD ∠AFD ，∴BC∥FA；∴BC=FA=3k； 又∵BC∥FA， ∴△BPE∽△FPA； ∴ AP PE = AF BE 3 3 ． |
如圖2，點E在BC的延長線上，AE與BD的延長線交于點P，CE：BC=1：3，求
AP
PE
（3）拓展延伸
在（2）的探究結論下，若BC=4，AC=6，求BP的長．
【考點】相似形綜合題．
【答案】2k；SAS；∠CBD；∠AFD；3
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：283引用：2難度：0.3
相似題
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1．【問題探究】如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF，求證：AE=DF．
【知識遷移】如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E在邊AD上，點M、N分別在邊AB、CD上，且BE⊥MN，求的值．BEMN
【拓展應用】如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB=m,BC=n,點E、F分別在邊AD、BC上，點M、N分別在邊AB、CD上，當∠EFC與∠MNC的度數(shù)之間滿足什么數(shù)量關系時，有試寫出其數(shù)量關系，并說明理由．EFMN=mn？
發(fā)布：2025/5/23 12:30:2組卷：746引用：1難度：0.4 -
2．綜合與實踐
【問題情境】
數(shù)學活動課上，楊老師出示了教材上的一個問題：
如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，交AG于點F，求證：AF-BF=EF．
數(shù)學興趣小組的小明同學做出了回答，解題思路如下：
由正方形的性質得到AB=AD，∠BAD=90°，
再由垂直和平行可知∠AED=∠AFB=90°，
再利用同角的余角相等得到∠ADE=∠BAF，
則可根據(jù)“AAS”判定△ADE≌△BAF，
得到AE=BF，所以AF-BF=AF-AE=EF．
【建立模型】
該數(shù)學小組小芳同學受此問題啟發(fā)，對上面的問題進行了改編，并提出了如下問題：
（1）如圖2，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)是對角線AC上的點，BF∥DE，連接BE，DF．
求證：四邊形BEDF是菱形；
【模型拓展】
該興趣小組的同學們在楊老師的指導下大膽嘗試，改變圖形模型，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點；
（2）如圖3，若正方形ABCD的邊長為12，E是對角線AC上的一點，過點E作EG⊥DE，交邊BC于點G，連接DG，交對角線AC于點F，CF：EF=3：5，求FG?DF的值．
發(fā)布：2025/5/23 12:30:2組卷：676引用：1難度：0.4 -
3．綜合與探究
在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上的點F處．
（1）如圖①，若BC=2BA，求∠CBE的度數(shù)；
（2）如圖②，當AB=5，且AF?FD=10時，求EF的長；
（3）如圖③，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當NF=AN+FD時，請直接寫出的值．ABBC發(fā)布：2025/5/23 12:0:2組卷：2370引用：8難度：0.3