2022年重慶市中考數(shù)學(xué)專題試卷（1）

一、例題講解：

• 1．對(duì)于一個(gè)三位正整數(shù)t,將各數(shù)位上的數(shù)字重新排序后（包括本身），得到一個(gè)新的三位數(shù)

  abc

  （a≤c），在所有重新排列的三位數(shù)中，當(dāng)|a+c-2b|最小時(shí)，稱此時(shí)的

  abc

  為t的“最優(yōu)組合”，并規(guī)定F（t）=|a-b|-|b-c|，例如：124重新排序后為：142、214、因?yàn)閨1+4-4|=1，|1+2-8|=5，|2+4-2|=4，所以124為124的“最優(yōu)組合”，此時(shí)F（124）=-1．
  （1）三位正整數(shù)t中，有一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，求證：F（t）=0；
  （2）一個(gè)正整數(shù)，由N個(gè)數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)能被2整除，前三位數(shù)能被3整除，…，一直到前N位數(shù)能被N整除，我們稱這樣的數(shù)為“善雅數(shù)”．例如：123的第一位數(shù)1能被1整除，它的前兩位數(shù)12能被2整除，前三位數(shù)123能被3整除，則123是一個(gè)“善雅數(shù)”．若三位“善雅數(shù)”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y為整數(shù)），m的各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，求出所有符合條件的“善雅數(shù)”中F（m）的最大值．
  組卷：623引用：3難度：0.3

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• 2．一個(gè)三位正整數(shù)N，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0，若從它的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字任意選擇兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，所有這些兩位數(shù)的和等于這個(gè)三位數(shù)本身，則稱這樣的三位數(shù)N為“公主數(shù)”，例如：132，選擇百位數(shù)字1和十位數(shù)字3組成的兩位數(shù)為13和31，選擇百位數(shù)字1和個(gè)位數(shù)字2組成的兩位數(shù)為12和21，選擇十位數(shù)字3和個(gè)位數(shù)字2組成的兩位數(shù)為32和23．因?yàn)?3+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主數(shù)”．試判斷123是不是“公主數(shù)”？請(qǐng)說明理由．
  組卷：66引用：1難度：0.6

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• 3．若一個(gè)三位整數(shù)，百位上數(shù)字的2倍加上十位上數(shù)字的3倍，再加上個(gè)位上數(shù)字所得的和能被7整除，則稱這個(gè)整數(shù)為“勞動(dòng)數(shù)”．
  例如：判斷210是“勞動(dòng)數(shù)”的過程如下：2×2+3×1+0=7，∵7能被7整除，∴210是“勞動(dòng)數(shù)”；
  判斷322是“勞動(dòng)數(shù)”的過程如下：2×3+3×2+2=14，∵14能被7整除，∴322是“勞動(dòng)數(shù)”；
  （1）直接寫出最小的“勞動(dòng)數(shù)”為

  ，并請(qǐng)用上面的方法判斷448是否為“勞動(dòng)數(shù)”；
  （2）試證明：所有的“勞動(dòng)數(shù)”均能被7整除．
  組卷：319引用：4難度：0.3

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• 4．有一個(gè)百位數(shù)字為1的三位整數(shù)，它能被7整除．將這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換所產(chǎn)生的新三位整數(shù)仍能夠被7整除，求這個(gè)三位數(shù)．
  組卷：24引用：1難度：0.5

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四、課后作業(yè)：

• 13．如果把一個(gè)奇數(shù)位的自然數(shù)各數(shù)為上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排列，與從個(gè)位到最高位依次排列出的一串?dāng)?shù)字完全相同，相鄰兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之差的絕對(duì)值相等（不等于0），且該數(shù)正中間的數(shù)字與其余數(shù)字均不同，我們把這樣的自然數(shù)稱為“階梯數(shù)”，例如自然數(shù)12321，從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字是：1，2，3，2，1，從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字仍是：1，2，3，2，1，且|1-2|=|2-3|=|3-2|=|2-1|=1，因此12321是一個(gè)“階梯數(shù)”，又如262，85258，…，都是“階梯數(shù)”，若一個(gè)“階梯數(shù)”t從左數(shù)到右，奇數(shù)位上的數(shù)字之和為M，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為N，記P（t）=2N-M，Q（t）=M+N．
  （1）已知一個(gè)三位“階梯數(shù)”t,其中P（t）=12，且Q（t）為一個(gè)完全平方數(shù)，求這個(gè)三位數(shù)；
  （2）已知一個(gè)五位“階梯數(shù)”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求該五位“階梯數(shù)”t的最大值與最小值．
  組卷：601引用：2難度：0.1

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• 14．對(duì)于各位數(shù)字都不為0的兩位數(shù)m和三位數(shù)n,將m中的任意一個(gè)數(shù)字作為一個(gè)新的兩位數(shù)的十位數(shù)字，將n中的任意一個(gè)數(shù)字作為該新數(shù)的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字，按照這種方式產(chǎn)生的所有新的兩位數(shù)的和記為F（m,n），例如：F（12，345）=13+14+15+23+24+25=114
  （1）F（24，579）=

  ，并求證：當(dāng)n能被3整除時(shí)，F(xiàn)（m,n）一定能被6整除；
  （2）若一個(gè)兩位數(shù)s=21x+y,一個(gè)三位數(shù)t=12x+y+198（其其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均為整數(shù)）．交換三位數(shù)t的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字得到新數(shù)t′，當(dāng)t′與s的個(gè)位數(shù)字的3倍的和被7除余1時(shí)，稱這樣的兩個(gè)數(shù)s和t為“幸運(yùn)數(shù)對(duì)”，求所有“幸運(yùn)數(shù)對(duì)”中F（s,t）的最大值．
  組卷：90引用：1難度：0.4

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