2023-2024學年北京市海淀區(qū)中關村中學高二（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

• 1．已知

  a

  =（x,1，3），

  b

  =（1，3，9），如果

  a

  與

  b

  為共線向量，則x=（　?。?/h2>

  A．1

  B． 1 2

  C． 1 3

  D． 1 6
  組卷：118引用：3難度：0.8

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• 2．已知集合A={y|y=e^x}，集合B={x|y=ln（x-1）}，則A∪B=（　　）

  A．R

  B．[1，+∞）

  C．（0，+∞）

  D．（1，+∞）
  組卷：154引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知直線m和平面α，β，則下列四個命題中正確的是（　　）

  A．若α⊥β，m?β，則m⊥α	B．若m∥α，m∥β，則α∥β
  C．若α∥β，m∥α，則m∥β	D．若α∥β，m⊥α，則m⊥β
  組卷：145引用：10難度：0.7

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• 4．某校組織全體學生參加了主題為“建黨百年，薪火相傳”的知識競賽，隨機抽取了200名學生進行成績統(tǒng)計、發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，在被抽取的學生中，成績在區(qū)間[80，90）的學生數(shù)是（　?。?/h2>

  A．30

  B．45

  C．60

  D．100
  組卷：111引用：1難度：0.7

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• 5．已知兩條異面直線的方向向量分別是

  u

  =

  （

  3

  ，-

  1

  ，

  2

  ）

  ，

  v

  =

  （

  -

  1

  ，

  3

  ，

  2

  ）

  ，則這兩條直線所成的角θ滿足（　　）

  A． sinθ = 1 7

  B． cosθ = 1 7

  C． sinθ = - 1 7

  D． cosθ = - 1 7
  組卷：44引用：2難度：0.7

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• 6．已知平面

  α

  =

  {

  P

  |

  n

  ?

  P

  0

  P

  =

  0

  }

  ，其中P₀（1，1，1），法向量

  n

  =

  （

  -

  1

  ，

  1

  ，

  2

  ）

  ，則下列各點中不在平面α內(nèi)的是（　?。?/h2>

  A．（2，0，1）

  B．（2，0，2）

  C．（-1，1，0）

  D．（0，2，0）
  組卷：173引用：4難度：0.8

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• 7．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是線段B₁D₁上一點，則點M到平面A₁BD的距離是（　?。?/h2>

  A． 3 6

  B． 3 3

  C． 3 4

  D． 6 3
  組卷：50引用：2難度：0.5

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• 8．如圖，將半徑為1的球與棱長為1的正方體組合在一起，使正方體的一個頂點正好是球的球心，則這個組合體的體積為（　?。?/h2>

  A． 7 6 π + 1

  B． 7 6 π + 5 6

  C． 7 8 π + 1

  D．π+1
  組卷：460引用：7難度：0.7

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五、解答題：本大題共2小題，共25分.

• 23．在△ABC中，

  bsin

  2

  A

  =

  3

  asin

  B

  ．
  （Ⅰ）求∠A；
  （Ⅱ）若△ABC的面積為

  3

  3

  ，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求a的值．
  條件①：

  sin

  C

  =

  2

  7

  7

  ；條件②：

  b

  c

  =

  3

  3

  4

  ；條件③：

  cos

  C

  =

  21

  7

  
  注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
  組卷：1005引用：11難度：0.6

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• 24．給定正整數(shù)n≥2，設集合M={α|α=（t₁，t₂，…，t_n），t_k∈{0，1}，k=1，2，…，n}．對于集合M中的任意元素β=（x₁，x₂，…，x_n）和γ=（y₁，y₂，…，y_n），記β?γ=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n．
  設A?M，且集合A={α_i|α_i=（t_i1，t_i2，…，t_in），i=1，2，…，n}，對于A中任意元素α_i，α_j，若

  α

  i

  ?

  α

  j

  =

  p , i = j ,

  1 ， i ≠ j ,

  則稱A具有性質(zhì)T（n,p）．
  （Ⅰ）判斷集合A={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性質(zhì)T（3，2）？說明理由；
  （Ⅱ）判斷是否存在具有性質(zhì)T（4，p）的集合A，并加以證明；
  （Ⅲ）若集合A具有性質(zhì)T（n,p），證明：t_1j+t_2j+…+t_nj=p（j=1，2，…，n）．
  組卷：389引用：6難度：0.1

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