2023-2024學年安徽省合肥市長豐一中高二（上）第一次月考數學試卷

一、單選題（本題共計8小題，總分40分）

• 1．已知i為虛數單位，復數z=

  2

  1

  +

  i

  +3i,則復數z的虛部是（　?。?/h2>

  A．i

  B．1

  C．2i

  D．2
  組卷：73引用：3難度：0.8

  解析

• 2．天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，用數字0，1，2，3表示下雨，數字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由計算機產生如下20組隨機數：
  977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，
  431，257，394，027，556，488，730，113，537，908．
  由此估計今后三天中至少有一天下雨的概率為（　?。?/h2>

  A．0.6

  B．0.7

  C．0.75

  D．0.8
  組卷：134引用：11難度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  的夾角為

  π

  3

  ，且|

  a

  |=2，|

  b

  |=1，則向量

  a

  與向量

  a

  +2

  b

  的夾角為（　?。?/h2>

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 4

  D． π 2
  組卷：146引用：3難度：0.9

  解析

• 4．已知兩個向量

  a

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  4

  ，

  m

  ,

  n

  ）

  ，且

  a

  ∥

  b

  ，則m+n的值為（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C．4

  D．8
  組卷：482引用：26難度：0.9

  解析

• 5．如圖，在四面體OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ．點M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點，則

  MN

  等于（　?。?/h2>

  A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B． - 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
  C． 1 2 a + 1 2 b - 1 2 c	D． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c
  組卷：336引用：58難度：0.7

  解析

• 6．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，∠A₁AD=∠A₁AB=60°，E是棱AD的中點，則直線B₁E與直線BD₁所成角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 3 5 10

  B． 6 5

  C． 3 6 10

  D． 5 5
  組卷：81引用：2難度：0.7

  解析

• 7．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的6個頂點都在球O的表面上，若AB=AC=1，

  A

  A

  1

  =

  2

  3

  ，

  ∠

  BAC

  =

  2

  π

  3

  ，則球O的體積為（　?。?/h2>

  A． 32 π 3

  B．3π

  C． 4 π 3

  D．8π
  組卷：317引用：4難度：0.6

  解析

四、解答題（本題共計6小題，總分70分）

• 21．杭州2022年第19屆亞運會（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運會共設40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目．同時，在保持40個大項目不變的前提下，增設了霹靂舞、電子競技兩個競賽項目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率．假設最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組．之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會發(fā)生一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制：假設四支隊伍分別為A，B，C，D，其中A對陣其他三個隊伍獲勝概率均為p,另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為

  1

  2

  ．最初分組時AB同組，CD同組．
  
  （1）若

  p

  =

  3

  4

  ，在淘汰賽賽制下，A，C獲得冠軍的概率分別為多少？
  （2）分別計算兩種賽制下A獲得冠軍的概率（用p表示），并據此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質疑的“對強者不公平”？
  組卷：149引用：9難度：0.6

  解析

• 22．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面正方形BB₁C₁C的中心為點M，A₁M⊥平面BB₁C₁C，且

  B

  B

  1

  =

  2

  ，

  AB

  =

  3

  ，點E滿足

  A

  1

  E

  =

  λ

  A

  1

  C

  1

  （

  0

  ≤

  λ

  ≤

  1

  ）

  ．
  
  （1）若A₁B∥平面B₁CE，求λ的值；
  （2）求點E到平面ABC的距離；
  （3）若平面ABC與平面B₁CE所成角的正弦值為

  2

  5

  5

  ，求λ的值．
  組卷：13引用：2難度：0.5

  解析