2023年東北三省三校黑龍江省哈爾濱師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的

• 1．已知集合A={x∈Z|x²-x-2≤0}，集合

  B

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  1

  -

  log

  2

  x

  }

  ，則A∩B=（　?。?/h2>

  A．[-1，2]

  B．（1，2]

  C．{1，2}

  D．{-1，1，2}
  組卷：393引用：5難度：0.8

  解析

• 2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z-（3+2i）|=1，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：92引用：5難度：0.7

  解析

• 3．已知非零向量

  a

  ，

  b

  滿足

  （

  a

  +

  2

  b

  ）

  ⊥

  （

  a

  -

  2

  b

  ）

  ，且向量

  b

  在向量

  a

  方向的投影向量是

  1

  4

  a

  ，則向量

  a

  與

  b

  的夾角是（　?。?/h2>

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 2

  D． 2 π 3
  組卷：486引用：10難度：0.6

  解析

• 4．楊輝是我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳解九章算法》、《日用算法》和《楊輝算法》．楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問題，如開方、數(shù)列等．
  
  我們借助楊輝三角可以得到以下兩個(gè)數(shù)列的和.1+1+1+…+1=n；

  1

  +

  2

  +

  3

  +

  …

  +

  C

  1

  n

  -

  1

  =

  C

  2

  n

  
  若楊輝三角中第三斜行的數(shù)：1，3，6，10，15，…構(gòu)成數(shù)列{a_n}，則關(guān)于數(shù)列{a_n}敘述正確的是（　　）

  A． a n + a n + 1 = （ n + 1 ） 2

  B． a n + a n + 1 = n 2

  C．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 C 3 n

  D．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 C 2 n + 1
  組卷：125引用：3難度：0.7

  解析

• 5．若

  sin

  （

  2

  α

  +

  π

  6

  ）

  +

  cos

  2

  α

  =

  3

  ，則tanα=（　?。?/h2>

  A． 3 3

  B．1

  C． 2 - 3

  D． 2 + 3
  組卷：192引用：2難度：0.8

  解析

• 6．“阿基米德多面體”這稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種半正多面體．已知

  AB

  =

  3

  2

  2

  ，則該半正多面體外接球的表面積為（　?。?/h2>

  A．18π

  B．16π

  C．14π

  D．12π
  組卷：254引用：8難度：0.6

  解析

• 7．某學(xué)校在校門口建造一個(gè)花圃，花圃分為9個(gè)區(qū)域（如圖），現(xiàn)要在每個(gè)區(qū)域栽種一種不同顏色的花，其中紅色、白色兩種花被隨機(jī)地分別種植在不同的小三角形區(qū)域，則它們?cè)诓幌噜彛]有公共邊）區(qū)域的概率為（　　）

  A． 1 8

  B． 1 4

  C． 3 8

  D． 3 4
  組卷：69引用：3難度：0.7

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四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟）

• 21．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  過點(diǎn)

  A

  （

  3

  ，-

  2

  ）

  ，且漸近線方程為

  x

  ±

  3

  y

  =

  0

  ．
  （1）求雙曲線C的方程；
  （2）如圖，過點(diǎn)B（1，0）的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M、N．直線MA、NA分別交直線x=1于點(diǎn)P、Q，求

  |

  PB

  |

  |

  BQ

  |

  的值．
  組卷：123引用：3難度：0.5

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• 22．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  a

  2

  e

  2

  x

  +

  （

  a

  -

  2

  ）

  e

  x

  -

  x

  2

  2

  ，f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
  （1）討論f'（x）的單調(diào)性；
  （2）若x₁，x₂（x₁＜x₂）為f（x）的極值點(diǎn)，證明：

  x

  2

  -

  x

  1

  ＜

  ln

  （

  3

  -

  a

  ）

  -

  lna

  +

  2

  a

  -

  1

  ．
  組卷：143引用：2難度：0.5

  解析