2022-2023學(xué)年安徽省合肥一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每題5分，滿分40分）．

• 1．若復(fù)數(shù)z=a²-4+（a-2）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（　?。?/h2>

  A．2

  B．2或-2

  C．-2

  D．-4
  組卷：196引用：8難度：0.7

  解析

• 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足c=2acosB，則△ABC的形狀是（　?。?/h2>

  A．等腰三角形

  B．直角三角形

  C．等腰直角三角形

  D．等腰三角形或直角三角形
  組卷：1078引用：18難度：0.9

  解析

• 3．某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為3，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（　?。?/h2>

  A． 4 5 π

  B． 4 5 3 π

  C． 2 2 π

  D． 2 2 3 π
  組卷：510引用：6難度：0.9

  解析

• 4．△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知

  A

  =

  π

  4

  ，

  a

  =

  2

  ，

  b

  =

  3

  ，則B的大小為（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 6 或 5 π 6

  D． π 3 或 2 π 3
  組卷：94引用：4難度：0.7

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• 5．設(shè)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．且2

  PA

  +2

  PB

  +

  PC

  =0，則S_△ABP：S_△ABC=（　?。?/h2>

  A． 1 5

  B． 2 5

  C． 1 4

  D． 1 3
  組卷：1493引用：7難度：0.6

  解析

• 6．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=2，AA₁=5，E為B₁C₁的中點(diǎn)，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 5 10

  B． 34 34

  C． 13 26

  D． 13 13
  組卷：438引用：7難度：0.7

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• 7．在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱為“芻童”．已知棱臺(tái)ABCD-A′B′C′D′是一個(gè)側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中AB=2A′B′=2，

  BC

  =

  2

  B

  ′

  C

  ′

  =

  2

  3

  ，則該“芻童”外接球的表面積為（　?。?/h2>

  A．20π

  B． 20 3 π

  C． 20 5 3 π

  D． 5 5 π
  組卷：191引用：5難度：0.5

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四、解答題（共6小題，其中第17題10分，其余各題12分，滿分70分）

• 21．合肥一中云上農(nóng)舍有三處苗圃，分別位于圖中△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知

  AB

  =

  AC

  =

  20

  2

  m

  ，BC=40m.為了解決三個(gè)苗圃的灌溉問(wèn)題，現(xiàn)要在△ABC區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）且與B，C等距的一點(diǎn)O處建立一個(gè)蓄水池，并鋪設(shè)管道OA、OB、OC．
  （1）設(shè)∠OBC=θ，記鋪設(shè)的管道總長(zhǎng)度為ym,請(qǐng)將y表示為θ的函數(shù)；
  （2）當(dāng)管道總長(zhǎng)取最小值時(shí)，求θ的值．
  組卷：21引用：3難度：0.5

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• 22．數(shù)學(xué)史上著名的波爾約-格維也納定理：任意兩個(gè)面積相等的多邊形，它們可以通過(guò)相互拼接得到．它由法卡斯?波爾約（FarksBolyai）和保羅?格維也納（PaulGerwien）兩位數(shù)學(xué)家分別在1833年和1835年給出證明．現(xiàn)在我們來(lái)嘗試用平面圖形拼接空間圖形，使它們的全面積都與原平面圖形的面積相等：（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1、圖2），其中圖1，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)正三棱錐；圖2，正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形（陰影部分），其較長(zhǎng)的一組鄰邊邊長(zhǎng)為三角形邊長(zhǎng)的

  1

  4

  ，有一組對(duì)角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個(gè)缺上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱錐的上底．
  
  （1）試比較圖1與圖2剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大?。?br />（2）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請(qǐng)仿照?qǐng)D2設(shè)計(jì)剪拼方案，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明．
  組卷：15引用：2難度：0.5

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