2022-2023學年福建省福州一中高二（上）期末數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．過兩直線x+y-3=0，2x-y=0的交點，且與直線x-3y-1=0垂直的直線方程為（　　）

  A．3x+y+5=0

  B．x-3y-5=0

  C．3x+y-5=0

  D．x-3y+5=0
  組卷：82難度：0.7

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• 2．已知

  a

  =

  （

  1

  ，

  1

  ，

  1

  ）

  為平面α的一個法向量，A（1，0，0）為α內的一點，則點D（1，1，2）到平面α的距離為（　?。?/h2>

  A． 3

  B． 2

  C． 5 2

  D． 6 3
  組卷：229難度：0.7

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• 3．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F作傾斜角為

  π

  3

  的直線l交拋物線C與A、B兩點，若線段AB中點的縱坐標為

  3

  ，則拋物線C的方程是（　?。?/h2>

  A．y2=3x

  B．y2=4x

  C．y2=6x

  D．y2=8x
  組卷：101引用：1難度：0.7

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• 4．已知數列{a_n}是等差數列，且a₆=0，a₁+a₄+a₇=6，將a₂，a₃，a₄，a₅去掉一項后，剩下三項依次為等比數列{b_n}的前三項，則b_n=（　?。?/h2>

  A．22-n

  B．2n+2

  C．23-n

  D．2n+3
  組卷：98引用：3難度：0.6

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• 5．某農場為節(jié)水推行噴灌技術，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個方向上呈拋物線狀，如圖所示．現要求水流最高點B離地面4m,點B到管柱OA所在直線的距離為3m,且水流落在地面上以O為圓心，以7m為半徑的圓上，則管柱OA的高度為（　?。?br />

  A． 5 3 m

  B． 7 4 m

  C． 9 4 m

  D． 7 3 m
  組卷：147引用：6難度：0.5

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• 6．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  =

  1

  的左、右焦點分別是F₁，F₂，P是橢圓C上一點，則△PF₁F₂的重心與橢圓C短軸頂點距離的最大值為（　　）

  A．1

  B． 4 3

  C． 2

  D． 34 4
  組卷：80難度：0.7

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• 7．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是一個圓，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長半軸長與短半軸長平方和的算術平方根，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C的離心率為

  5

  5

  ，M為其蒙日圓上一動點，過點M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若△MPQ面積的最大值為36，則橢圓C的長軸長為（　?。?/h2>

  A． 2 5

  B． 4 5

  C． 2 3

  D． 4 3
  組卷：64引用：1難度：0.7

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四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PC=

  3

  ，

  AC

  =

  BC

  =

  2

  2

  ，AC⊥BC，D為棱AB上一點，BD=3AD，PD=

  2

  ，
  （1）證明：平面PAC⊥平面ABC；
  （2）線段PD上是否存在點M，使直線AP與平面MBC所成角的正弦值為

  6

  3

  ？若存在，求出

  |

  PM

  |

  |

  PD

  |

  的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：101難度：0.4

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• 22．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，點P（3，1）在C上，且|PF₁|?|PF₂|=10．
  （1）求C的方程；
  （2）斜率為-3的直線l與C交于A，B兩點，點B關于原點的對稱點為D．若直線PA，PD的斜率存在且分別為k₁，k₂，證明：k₁?k₂為定值．
  組卷：558引用：5難度：0.5

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