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2022-2023學年貴州省貴陽市三新改革聯(lián)盟校高一（下）聯(lián)考數(shù)學試卷（5月份）

發(fā)布：2024/7/22 8:0:9

一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．

1．i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z=1+i,則|z|=（　　）
A．1 B．2 C．
2
D．
2
2
組卷：12引用：2難度：0.8
解析
2．已知
a
=
（
0
，
1
）
，
b
=
（
1
，
2
）
，
c
=
（
2
，
3
）
，則（　?。?/h2>
A．
a
+
b
=
c
B．
a
+
c
=
2
b
C．
2
a
+
b
=
c
D．
a
+
2
b
=
c
組卷：88引用：2難度：0.8
解析
3．n棱柱（n∈N^*，n≥3）的頂點數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則V+F-E=（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
組卷：15引用：2難度：0.7
解析
4．等腰直角三角形的斜邊為2，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（　?。?/h2>
A．
π
3
B．
2
π
3
C．
2
π
3
D．
2
2
π
3
組卷：48引用：2難度：0.8
解析
5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，異面直線BD與B₁C所成角為（　?。?/h2>
A．30° B．45° C．60° D．90°
組卷：85引用：3難度：0.7
解析
6．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所有棱長均為2，則二面角A-BC-A₁的余弦值為（　?。?/h2>
A．
1
3
B．
6
3
C．
21
7
D．
2
3
組卷：295引用：4難度：0.5
解析
7．在△ABC中，|AB|=5，|BC|=6，|AC|=7，則△ABC的面積是（　　）
A．
15
3
2
B．
6
6
C．12 D．
12
6
組卷：53引用：3難度：0.7
解析

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四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

21．如圖，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BE⊥AC，垂足為E，BF⊥AD，垂足為F．
（1）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求證：AE?AC=AF?AD．
組卷：43引用：2難度：0.5
解析
22．材料1．類比是獲取數(shù)學知識的重要思想之一，很多優(yōu)美的數(shù)學結(jié)論就是利用類比思想獲得的．例如：若a＞0，b＞0，則
a
+
b
2
≥
ab
，當且僅當a=b時，取等號，我們稱為二元均值不等式．類比二元均值不等式得到三元均值不等式：a＞0，b＞0，c＞0，則
a
+
b
+
c
3
≥
3
abc
，當且僅當a=b=c時，取等號．我們經(jīng)常用它們求相關(guān)代數(shù)式或幾何問題的最值，某同學做下面幾何問題就是用三元均值不等式圓滿完成解答的．
題：將邊長為12cm的正方形硬紙片（如圖1）的四個角裁去四個相同的小正方形后，折成如圖2的無蓋長方體小紙盒，求紙盒容積的最大值．

解：設(shè)截去的小正方形的邊長為x（0＜x＜6），則紙盒容積V=（12-2x）²x=
1
4
（
12
-
2
x
）
（
12
-
2
x
）
（
4
x
）
≤
1
4
（
12
-
2
x
+
12
-
2
x
+
4
x
3
）
3
=128．
當且僅當12-2x=12-2x=4x,即x=2時取等號．所以紙金的容積取得最大值128cm³．在求V的最大值中，用均值不等式求最值時，遵循“一正二定三相等”的規(guī)則．你也可以將V=（12-2x）²x變形為V=（12-2x）²x=2（6-x）（6-x）（2x）求解．
你還可以設(shè)紙盒的底面邊長為a,高為b,則a+2b=12，則紙盒容積V=a²b=
1
4
aa
（
4
b
）
≤
1
4
（
a
+
a
+
4
b
3
）
3
=
1
4
×
（
2
（
a
+
2
b
）
3
）
3
=
1
4
×
（
2
×
12
3
）
3
=128．
當且僅當a=a=4b,即a=8，b=2時取等號，所以紙盒的容積取得最大值128cm³．
材料2．《數(shù)學必修二》第八章8.3節(jié)習題8.3設(shè)置了如下第4題：
如圖1，圓錐的底面直徑和高均為a,過PO的中點O₁作平行于底面的截面，以該截面為底的面挖去一個圓柱，求剩下幾何體的表面積和體積．我們稱圓柱為圓錐的內(nèi)接圓柱．
根據(jù)材料1與材料2完成下列問題．
如圖2，底面直徑和高均為6cm的圓錐有一個底面半徑為R，高為H的內(nèi)接圓柱．

（1）求R與H的關(guān)系式；
（2）求圓柱側(cè)面積的最大值；
（3）求圓柱體積的最大值．
組卷：62引用：2難度：0.5
解析