2022-2023學(xué)年湖南省懷化市、長(zhǎng)沙市高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．已知集合A={x|a-2＜x＜a+3}，B={x|（x-1）（x-4）＞0}，若A∪B=R，則a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（-∞，1]

  B．（1，3）

  C．[1，3]

  D．[3，+∞）
  組卷：116引用：7難度：0.8

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• 2．設(shè)i是虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=1+（a-1）i（a∈R），且復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=（　?。?/h2>

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C．1

  D．2
  組卷：33引用：3難度：0.7

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• 3．已知函數(shù)f（x）=e^x-1+ax²+1的圖象在x=1處的切線與直線x+3y-1=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：543引用：4難度：0.9

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• 4．《周髀算經(jīng)》中“側(cè)影探日行”一文有記載：“即取竹空，徑一寸，長(zhǎng)八尺，捕影而視之，空正掩目，而日應(yīng)空之孔．”意謂：“取竹空這一望筒，當(dāng)望筒直徑d是一寸，筒長(zhǎng)l是八尺時(shí)（注：一尺等于十寸），從筒中搜捕太陽(yáng)的邊緣觀察，則筒的內(nèi)孔正好覆蓋太陽(yáng)，而太陽(yáng)的外緣恰好填滿竹管的內(nèi)孔．”如圖所示，O為竹空底面圓心，則太陽(yáng)角∠AOB的正切值為（　?。?/h2>

  A． 320 160 2 - 1

  B． 1 160

  C． 160 80 2 - 1

  D． 1 80
  組卷：548引用：12難度：0.5

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• 5．將函數(shù)f（x）=2cos（x-φ）圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的ω（ω＞0）倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖像，若對(duì)于滿足|g（x₁）-g（x₂）|=4的x₁，x₂，都有|x₁-x₂|_min=

  π

  4

  ，則ω的值為（　?。?/h2>

  A． 1 4

  B． 1 2

  C．2

  D．4
  組卷：11引用：3難度：0.7

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• 6．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)

  M

  （

  x

  0

  ，

  10

  ）

  （

  x

  0

  ＞

  p

  2

  ）

  是拋物線C上一點(diǎn)，圓M與線段MF相交于點(diǎn)A，且被直線

  x

  =

  p

  2

  截得的弦長(zhǎng)為

  3

  |

  MA

  |

  ，若|MA|=2|AF|，則|AF|=（　?。?/h2>

  A．2

  B．1

  C． 5 2

  D． 5
  組卷：14引用：3難度：0.5

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• 7．已知三棱錐P-ABC，Q為BC中點(diǎn)，PB=PC=AB=BC=AC=2，側(cè)面PBC⊥底面ABC，則過(guò)點(diǎn)Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（　?。?/h2>

  A． [ π ， 5 π 3 ]

  B． [ π 2 ， 2 π 3 ]

  C． [ 2 π 3 ， 2 π ]

  D．[π，2π]
  組卷：599引用：5難度：0.3

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四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

• 21．已知橢圓

  Γ

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  ，（a＞1）的上、下頂點(diǎn)是B₁，B₂，左，右頂點(diǎn)是A₁，A₂，點(diǎn)D在橢圓Γ內(nèi)，點(diǎn)M在橢圓Γ上，在四邊形MB₁DB₂中，若MB₁⊥B₁D，MB₂⊥B₂D，且四邊形MB₁DB₂面積的最大值為

  5

  2

  ．
  （1）求a的值；
  （2）已知直線x=my+1交橢圓Γ于P，Q兩點(diǎn)，直線A₁P與A₂Q交于點(diǎn)S，證明：當(dāng)m變化時(shí)，存在不同于A₂的定點(diǎn)T，使得|A₂S|=|ST|．
  組卷：20引用：2難度：0.3

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• 22．已知函數(shù)f（x）=e^x+2ax-1，其中a為實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，e=2.71828…．
  （1）已知函數(shù)x∈R，f（x）＞0，求實(shí)數(shù)a取值的集合；
  （2）已知函數(shù)F（x）=f（x）-ax²有兩個(gè)不同極值點(diǎn)x₁、x₂．
  ①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
  ②證明：2

  a

  （

  x

  1

  +

  x

  2

  ）

  ＞

  3

  x

  1

  x

  2

  ．
  組卷：38引用：3難度：0.2

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