2023-2024學(xué)年河北省保定市重點高中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．已知復(fù)數(shù)z滿足

  z

  （

  1

  -

  i

  ）

  =

  i

  ，則z的虛部為（　?。?/h2>

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C． - 1 2 i

  D． 1 2 i
  組卷：536引用：5難度：0.9

  解析

• 2．已知集合A={x∈Z|x²+x-2＜0}，B={x∈N|0≤log₂（x+1）＜2}，則A∪B的真子集的個數(shù)為（　?。?/h2>

  A．16

  B．15

  C．14

  D．8
  組卷：618引用：6難度：0.9

  解析

• 3．已知單位向量

  a

  ，

  b

  滿足（2

  a

  +

  b

  ）⊥

  b

  ，則

  a

  與

  b

  的夾角為（　?。?/h2>

  A． π 6

  B． π 3

  C． 2 π 3

  D． 5 π 6
  組卷：744引用：6難度：0.8

  解析

• 4．已知直線l₁：2x-ay+1=0，l₂：（a-1）x-y+a=0，則“a=2”是“l(fā)₁∥l₂”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：2068引用：18難度：0.8

  解析

• 5．在百端待舉、日理萬機(jī)中，毛澤東主席仍不忘我國的教育事業(yè).1951年9月底，毛主席在接見安徽參加國慶的代表團(tuán)時，送給代表團(tuán)成員——渡江小英雄馬毛姐一本精美的筆記本，并在扉頁上題詞：好好學(xué)習(xí)，天天向上．這8個字的題詞迅速在全國傳播開來，影響并指導(dǎo)著一代代青少年青春向上，不負(fù)韶華．他告訴我們：每天進(jìn)步一點點，持之以恒，收獲不止一點點．把學(xué)生現(xiàn)在的學(xué)習(xí)情況看作1．每天的“進(jìn)步率”為3%，那么經(jīng)過一個學(xué)期（看作120天）后的學(xué)習(xí)情況為（1+3%）¹²⁰≈34.711，如果每天的“遲步率”為3%，同樣經(jīng)過一個學(xué)期后的學(xué)習(xí)情況為（1-3%）¹²⁰≈0.026，經(jīng)過一個學(xué)期，進(jìn)步者的學(xué)習(xí)情況是遲步者學(xué)習(xí)情況的1335倍還多，按上述情況，若“進(jìn)步“的值是“遲步”的值的10倍，要經(jīng)過的天數(shù)大約為（保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：lg103≈2.013，lg97≈1.987）（　?。?/h2>

  A．28

  B．38

  C．60

  D．100
  組卷：262引用：5難度：0.8

  解析

• 6．如圖，在三棱錐P-ABC中，異面直線AC與PB所成的角為60°，E，F(xiàn)分別為棱PA，BC的中點，若AC=2，PB=4，則EF=（　?。?br />?

  A． 3

  B．2

  C． 3 或 7

  D．2或 7
  組卷：585引用：6難度：0.7

  解析

• 7．已知拋物線Γ：y²=-2px（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線m與坐標(biāo)軸交于點F₁，過點F的直線l與Γ及準(zhǔn)線m依次相交于A，B，C三點（點B在點A，C之間），若

  |

  BF

  |

  =

  1

  3

  |

  FC

  |

  ，|AF|=6，則△F₁AB的面積等于（　?。?/h2>

  A． 2 3

  B． 3 3

  C． 4 3

  D． 6 3
  組卷：227引用：1難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．x.已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為2，其左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點A為C的漸近線上一點，|AF₂|的最小值為

  3

  ．
  （1）求C的方程；
  （2）過C的左頂點B且斜率為k（k≠0）的直線l交C的右支于點P，與直線

  x

  =

  1

  2

  交于點Q，過F₁且平行于QF₂的直線交直線PF₂于點M，證明：點M在定圓上．
  組卷：260引用：1難度：0.5

  解析

• 22．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  sinx

  +

  1

  e

  π

  -

  a

  e

  x

  ，a∈R．
  （1）當(dāng)a=-1時，證明：f（x）＞1在[-π，0]上恒成立；
  （2）當(dāng)a=1時，求f（x）在[π，2π]內(nèi)的零點個數(shù)．
  組卷：315引用：2難度：0.5

  解析