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2022-2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

發(fā)布：2024/9/3 5:0:8

一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）

1．橢圓
x
2
16
+
y
2
25
=
1
上點P到右焦點的距離為4，則點P到左焦點的距離為（　　）
A．6 B．3 C．4 D．2
組卷：8引用：4難度：0.7
解析
2．直線l的一個方向向量為（4，2，3），平面α的一個法向量為（2，1，t），若l⊥α，則實數(shù)t=（　?。?/h2>
A．
3
2
B．1 C．-2 D．
-
8
3
組卷：24引用：3難度：0.7
解析
3．直線（a-1）x-（a+1）y+2=0恒過定點（　?。?/h2>
A．（1，1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（-1，-1）
組卷：1024引用：4難度：0.7
解析
4．唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題--“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為A（1，1），若將軍從山腳下的點B（4，4）處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為x-y+1=0，則“將軍飲馬”的最短總路程是（　?。?/h2>
A．3
6
B．
34
C．
5
D．2
5
組卷：217引用：4難度：0.7
解析
5．已知圓C：x²+y²+2x+4y+4=0，則圓上的點到坐標(biāo)原點的距離的最大值為（　　）
A．
5
B．6 C．
5
-
1
D．
5
+
1
組卷：28引用：2難度：0.6
解析
6．如圖所示，在四面體O-ABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，點M在OA上，且
OM
=2
MA
，N為BC的中點，則
MN
=（　?。?/h2>
A．
1
2
a
-
2
3
b
+
1
2
c
B．-
2
3
a
+
1
2
b
+
1
2
c
C．
1
2
a
+
1
2
b
-
2
3
c
D．
2
3
a
+
2
3
b
-
1
2
c
組卷：1218引用：38難度：0.9
解析
7．如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐?金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為
10
3
3
，下底座外直徑為
2
39
3
，且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最細(xì)之處的周長為（　　）
A．2
2
π B．3π C．2
3
π D．4π
組卷：101引用：4難度：0.6
解析

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四、解答題（第17小題10分，第18-22小題，每小題10分，共6小題70分）

21．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，
AB
=
AD
=
1
2
CD
，AB⊥AD，AB∥CD，點M是PC的中點，
（1）求平面PBC與平面BCD夾角的余弦值；
（2）在線段PB上是否存在一點N，使得DN⊥平面PBC？若存在，求出
PN
PB
的值；若不存在，請說明理由．
組卷：3引用：2難度：0.5
解析
22．如圖，已知橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點的三角形的周長為4（
2
+1），一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁?k₂=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．
組卷：1707引用：31難度：0.1
解析