2022-2023學(xué)年廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)（深圳學(xué)校）高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（-3i）z=4-5i,則z的虛部為（　?。?/h2>

  A． 4 i 3

  B． 4 3

  C． - 4 3

  D． - 4 i 3
  組卷：76引用：3難度：0.8

  解析

• 2．平面向量

  a

  =（-2，k），

  b

  =（2，4），若

  a

  ⊥

  b

  ，則|

  a

  -

  b

  |=（　　）

  A．6

  B．5

  C． 2 6

  D． 2 5
  組卷：786引用：5難度：0.9

  解析

• 3．在△ABC中，若（a+b+c）（c+b-a）=bc,則A=（　　）

  A． 5 π 6

  B． 2 π 3

  C． π 3

  D． π 6
  組卷：546引用：4難度：0.8

  解析

• 4．如圖，矩形OABC′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA′=6，OC′=2，則原圖形OABC的面積為（　　）

  A．24 2

  B．12 2

  C．48 2

  D．20 2
  組卷：426引用：15難度：0.9

  解析

• 5．在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且∠OCB=30°，

  |

  AB

  |

  =

  2

  ，則

  |

  AC

  |

  等于（　?。?/h2>

  A．1

  B． 2

  C． 3

  D．2
  組卷：193引用：6難度：0.8

  解析

• 6．若圓錐高為3，體積為3π，則該圓錐的側(cè)面積為（　?。?/h2>

  A．4π

  B．5π

  C．6π

  D．7π
  組卷：275引用：4難度：0.8

  解析

• 7．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若

  AB

  =m

  AM

  ，

  AC

  =n

  AN

  （m,n＞0），則

  1

  m

  +

  4

  n

  的最小值為（　　）

  A．2

  B．3

  C． 9 2

  D．5
  組卷：614引用：9難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

• 21．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線(xiàn)方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．
  （Ⅰ）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
  （Ⅱ）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值．
  組卷：165引用：13難度：0.7

  解析

• 22．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量

  m

  =（x₁，y₁），

  n

  =（x₂，y₂），作：

  OM

  =

  m

  ，

  ON

  =

  n

  ．當(dāng)

  m

  ，

  n

  不共線(xiàn)時(shí)，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S（

  m

  ，

  n

  ）=|x₁y₂-x₂y₁|；當(dāng)

  m

  ，

  n

  共線(xiàn)時(shí)，規(guī)定S（

  m

  ，

  n

  ）=0．
  （Ⅰ）分別根據(jù)下列已知條件求S（

  m

  ，

  n

  ）：
  ①

  m

  =（2，1），

  n

  =（-1，2）；②

  m

  =（1，2），

  n

  =（2，4）；
  （Ⅱ）若向量

  p

  =λ

  m

  +μ

  n

  （λ，μ∈R，λ²+μ²≠0），
  求證：S（

  p

  ，

  m

  ）+S（

  p

  ，

  n

  ）=（|λ|+|μ|）S（

  m

  ，

  n

  ）；
  （Ⅲ）若A，B，C是以O(shè)為圓心的單位圓上不同的點(diǎn)，記

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ．
  （?。┊?dāng)

  a

  ⊥

  b

  時(shí)，求S（

  c

  ，

  a

  ）+S（

  c

  ，

  b

  ）的最大值；
  （ⅱ）寫(xiě)出S（

  a

  ，

  b

  ）+S（

  b

  ，

  c

  ）+S（

  c

  ，

  a

  ）的最大值．（只需寫(xiě)出結(jié)果）
  組卷：357引用：8難度：0.3

  解析