2022-2023學(xué)年上海市黃浦區(qū)格致中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題：（本題共有12個(gè)小題，每小題3分，滿分36分）

• 1．若直線l的一個(gè)法向量是

  n

  =（1，-

  3

  ），則直線l的傾斜角的大小為

  ．
  組卷：339引用：3難度：0.7

  解析

• 2．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為

  ．
  組卷：148引用：6難度：0.7

  解析

• 3．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（5，p）（0＜p＜1），且E[X]=2，則D[X]=

  ．
  組卷：96引用：1難度：0.7

  解析

• 4．已知雙曲線

  x

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  b

  ＞

  0

  ）

  的兩條漸近線的夾角為

  π

  3

  ，則b=

  ．
  組卷：59引用：2難度：0.6

  解析

• 5．若點(diǎn) P（1，m）為拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若|PF|=2，則m=

   

  ．
  組卷：81引用：3難度：0.7

  解析

• 6．設(shè)E是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中點(diǎn)，在棱AA₁上任取一點(diǎn)P，在線段A₁E上任取一點(diǎn)Q，則異面直線PQ與BD所成角的大小為

  ．
  組卷：106引用：2難度：0.7

  解析

三、解答題：（本題共有4大題，滿分48分．解題時(shí)要有必要的解題步驟）

• 19．已知橢圓

  Γ

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為

  1

  2

  ，F(xiàn)₁、F₂為橢圓Γ的左、右焦點(diǎn)，|F₁F₂|=2，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
  （1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時(shí)，求△PF₁F₂的面積；
  （3）已知r為正常數(shù)，過動(dòng)點(diǎn)P作圓x²+y²=r²的切線PQ、PR，記直線PQ、PR的斜率分別為k₁、k₂，是否存在r,使得k₁k₂為定值？若存在，求出r及k₁k₂的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：96引用：1難度：0.6

  解析

• 20．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），其導(dǎo)函數(shù)為y′=f′（x），滿足對(duì)任意的x∈R都有|f′（x）|＜1．
  （1）若

  f

  （

  x

  ）

  =

  ax

  +

  sinx

  4

  ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
  （2）若存在M＞0，對(duì)任意x∈R，成立|f（x）|≤M，試判斷函數(shù)y=f（x）-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；
  （3）若存在a、b（a＜b），使得f（a）=f（b），證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁、x₂∈[a,b]，都有

  |

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  |

  ＜

  b

  -

  a

  2

  ．
  組卷：81引用：1難度：0.5

  解析