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2023-2024學年湖南省長沙市長郡中學高二（上）期中數學試卷

發(fā)布：2024/10/3 15:0:2

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．若兩個不同平面α，β的法向量分別為
u
=（1，2，-1），
v
=（-3，-6，3），則（　?。?/h2>
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確
組卷：292引用：8難度：0.9
解析
2．《萊因德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數學著作之一，書中有一道這樣的題目，請給出答案：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數成等差數列，且使較大的三份之和的
1
7
是較小的兩份之和，則最小的一份為（　?。?/h2>
A．
5
3
B．
10
3
C．
5
6
D．
11
6
組卷：112引用：2難度：0.7
解析
3．若直線y=kx-2與直線y=3x垂直，則k=（　　）
A．3 B．
1
3
C．-3 D．
-
1
3
組卷：108引用：2難度：0.8
解析
4．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分別是A₁B₁，A₁C₁的中點，BC=CA=CC₁，則BM與NA所成的角的余弦值為（　?。?/h2>
A．
-
30
10
B．
30
6
C．
30
10
D．
2
2
組卷：86引用：3難度：0.5
解析
5．雙曲線C與橢圓
x
2
9
+
y
2
4
=
1
有相同的焦點，一條漸近線的方程為x-2y=0，則雙曲線C的標準方程為（　?。?/h2>
A．
x
2
4
-
y
2
=
1
B．
y
2
9
-
x
2
36
=
1
C．
x
2
9
-
y
2
36
=
1
D．
y
2
4
-
x
2
=
1
組卷：248難度：0.7
解析
6．已知拋物線E：x²=4y和圓F：x²+（y-1）²=1，過點F作直線l與上述兩曲線自左而右依次交于點A，C，D，B，則|AC|與|BD|的乘積為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
2
組卷：78引用：1難度：0.6
解析
7．已知數列{a_n}滿足
2
a
n
+
1
a
n
+
a
n
+
1
-
3
a
n
=
0
（
n
∈
N
*
）
且a₁＞0．若{a_n}是遞增數列，則a₁的取值范圍是（　　）
A．
（
0
，
1
2
）
B．
（
1
2
，
1
）
C．（0，1） D．
（
0
，
2
-
1
）
組卷：107引用：2難度：0.5
解析

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四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

21．已知數列{a_n}，a₁=2，
a
n
+
1
=
2
-
1
a
n
，數列{b_n}滿足b₁=1，
b
2
n
b
2
n
-
1
=
b
2
n
+
1
b
2
n
=
a
n
．
（1）求證：數列
{
1
a
n
-
1
}
為等差數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）求b_2n+1的表達式；
（3）求證：
1
b
2
+
1
b
4
+
…
+
1
b
2
n
＜
1
．
組卷：124引用：2難度：0.5
解析
22．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左、右焦點分別為F₁、F₂，焦距為2，上、下頂點分別為B₁、B₂，A為橢圓上的點，且滿足
k
A
B
1
?
k
A
B
2
=
-
3
4
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過F₁、F₂作兩條相互平行的直線l₁，l₂交C于M，N和P，Q，順次連接構成四邊形PQNM，求四邊形PQNM面積的取值范圍．
組卷：142引用：2難度：0.5
解析

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A．α∥β	B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直	D．以上均不正確

2023-2024學年湖南省長沙市長郡中學高二（上）期中數學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．若兩個不同平面α，β的法向量分別為u=（1，2，-1），v=（-3，-6，3），則（ ?。?/h2>

3．若直線y=kx-2與直線y=3x垂直，則k=（ ）

4．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BM與NA所成的角的余弦值為（ ?。?/h2>

5．雙曲線C與橢圓x29+y24=1有相同的焦點，一條漸近線的方程為x-2y=0，則雙曲線C的標準方程為（ ?。?/h2>

6．已知拋物線E：x2=4y和圓F：x2+（y-1）2=1，過點F作直線l與上述兩曲線自左而右依次交于點A，C，D，B，則|AC|與|BD|的乘積為（ ）

7．已知數列{an}滿足2an+1an+an+1-3an=0（n∈N*）且a1＞0．若{an}是遞增數列，則a1的取值范圍是（ ）

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

21．已知數列{an}，a1=2，an+1=2-1an，數列{bn}滿足b1=1，b2nb2n-1=b2n+1b2n=an．（1）求證：數列{1an-1}為等差數列，并求出數列{an}的通項公式；（2）求b2n+1的表達式；（3）求證：1b2+1b4+…+1b2n＜1．

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．若兩個不同平面α，β的法向量分別為
u
=（1，2，-1），
v
=（-3，-6，3），則（　?。?/h2>

3．若直線y=kx-2與直線y=3x垂直，則k=（　　）

4．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分別是A₁B₁，A₁C₁的中點，BC=CA=CC₁，則BM與NA所成的角的余弦值為（　?。?/h2>

5．雙曲線C與橢圓
x
2
9
+
y
2
4
=
1
有相同的焦點，一條漸近線的方程為x-2y=0，則雙曲線C的標準方程為（　?。?/h2>

6．已知拋物線E：x²=4y和圓F：x²+（y-1）²=1，過點F作直線l與上述兩曲線自左而右依次交于點A，C，D，B，則|AC|與|BD|的乘積為（　　）

7．已知數列{a_n}滿足
2
a
n
+
1
a
n
+
a
n
+
1
-
3
a
n
=
0
（
n
∈
N
*
）
且a₁＞0．若{a_n}是遞增數列，則a₁的取值范圍是（　　）

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）