人教五四新版九年級(jí)（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（22）

一、解答題（共30小題）

• 1．在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“夢(mèng)之點(diǎn)”，例如點(diǎn)（-1，-1），（0，0），（

  2

  ，

  2

  ），…都是“夢(mèng)之點(diǎn)”，顯然，這樣的“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)．
  （1）若點(diǎn)P（2，m）是反比例函數(shù)y=

  n

  x

  （n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
  （2）函數(shù)y=3kx+s-1（k,s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
  （3）若二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a,b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且滿足-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，令t=b²-2b+

  157

  48

  ，試求出t的取值范圍．
  組卷：2625引用：50難度：0.3

  解析

• 2．如圖，已知拋物線y=-x²+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），線段BC與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)P．M、N分別是線段OC和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)保持∠MPN=90°不變．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）①試猜想PN與PM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
  ②在①的前提下，連接MN，設(shè)OM=m.△MPN的面積為S，求S的最大值．
  組卷：389引用：50難度：0.5

  解析

• 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-

  1

  2

  x²+

  3

  2

  x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．過(guò)動(dòng)點(diǎn)H（0，m）作平行于x軸的直線l,直線l與二次函數(shù)y=-

  1

  2

  x²+

  3

  2

  x+2的圖象相交于點(diǎn)D，E．
  （1）寫出點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；
  （2）若m＞0，以DE為直徑作⊙Q，當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí)，求m的值；
  （3）直線l上是否存在一點(diǎn)F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：2580引用：51難度：0.1

  解析

• 4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+4與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的拋物線y=ax²+bx與直線y=-x+4交于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．
  
  （1）求a,b的值；
  （2）點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作PM∥OB交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥MC于點(diǎn)F，設(shè)PF的長(zhǎng)為t,MN的長(zhǎng)為d,求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
  （3）在（2）的條件下，當(dāng)S_△ACN=S_△PMN時(shí)，連接ON，點(diǎn)Q在線段BP上，過(guò)點(diǎn)Q作QR∥MN交ON于點(diǎn)R，連接MQ、BR，當(dāng)∠MQR-∠BRN=45°時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．
  組卷：2104引用：56難度：0.5

  解析

• 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（6，0），C（-4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．
  
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）點(diǎn)D、點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿x軸正半軸，y軸正半軸向點(diǎn)A、點(diǎn)B方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)D、E同時(shí)停止移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，作點(diǎn)E關(guān)于直線DF的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接FE′，射線DE′交AB于點(diǎn)H．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
  ①t為何值時(shí)點(diǎn)E′恰好在拋物線上，并求此時(shí)△DE′F與△ADG重疊部分的面積；
  ②點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，形成以點(diǎn)A、E′、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，那么請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  組卷：1037引用：51難度：0.5

  解析

• 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2x與x軸正半軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B．
  （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
  （2）已知點(diǎn)C（0，-2），直線AC與BO相交于點(diǎn)D，與該拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，且△OCD≌△BED，求m的值；
  （3）在由（2）確定的拋物線上有一點(diǎn)N（n,-

  5

  3

  ），N在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)F，G在對(duì)稱軸上，F(xiàn)在G上方，且FG=1，當(dāng)四邊形ONGF的周長(zhǎng)最小時(shí)：
  ①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
  ②設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，在y軸上是否存在點(diǎn)H，使以N，F(xiàn)，H，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  
  組卷：1651引用：51難度：0.5

  解析

• 7．二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

  1

  4

  ）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上．直線y=-1與y軸交于點(diǎn)H．
  （1）求二次函數(shù)的解析式；
  （2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=-1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP；
  （3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
  組卷：3681引用：74難度：0.1

  解析

• 8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)E（8，0），拋物線的頂點(diǎn)A在第四象限，點(diǎn)A到x軸的距離AB=4，點(diǎn)P（m,0）是線段OE上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，將線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)D，連接BC和AD．
  
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
  （3）當(dāng)以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  組卷：1335引用：54難度：0.1

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• 9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M為拋物線y=-x²+2nx-n²+2n的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（0，4）作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在Q的左側(cè)），PQ=4．
  （1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （2）小麗發(fā)現(xiàn)：將拋物線y=-x²+2nx-n²+2n繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，所得新拋物線的頂點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)O，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
  （3）如圖2，已知點(diǎn)A（1，0），以PA為邊作矩形PABC（點(diǎn)P、A、B、C按順時(shí)針的方向排列），

  PA

  AB

  =

  1

  t

  ．
  ①寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)：C（

   

  ，

   

  ）（坐標(biāo)用含有t的代數(shù)式表示）；
  ②若點(diǎn)C在題（2）中旋轉(zhuǎn)后的新拋物線上，求t的值．
  
  組卷：1150引用：52難度：0.1

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• 10．如圖，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a,0），F(xiàn)（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）當(dāng)a=1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小？請(qǐng)說(shuō)明理由．
  
  組卷：3471引用：61難度：0.1

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．如圖（1），拋物線y=-

  1

  4

  x²+x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）①若點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，連接CD，以O(shè)E為直徑作⊙M，如圖（2），試求當(dāng)CD與⊙M相切時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；
  ②點(diǎn)F是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)G，使A、C、G、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  
  組卷：852引用：52難度：0.1

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• 30．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）．
  （1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
  （2）直線CD交x軸于點(diǎn)E，過(guò)拋物線上在對(duì)稱軸的右邊的點(diǎn)P，作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，交直線CD于M，使PM=

  1

  5

  EF，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （3）將拋物線沿對(duì)稱軸平移，要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點(diǎn)，那么拋物線向上最多平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度，向下最多平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度．
  組卷：1093引用：53難度：0.1

  解析