2022-2023學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題

• 1．若

  C

  2

  n

  =

  C

  2

  n

  -

  1

  +

  C

  3

  n

  -

  1

  （n∈N*），則n=

  ．
  組卷：384引用：4難度：0.7

  解析

• 2．總體是由編號(hào)為01，02，?，29，30的30個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為

  ．

  7816	1572	0802	6315	0216	4319	9714	0198
  3204	9234	4936	8200	3623	4869	6938	7181
  組卷：333引用：6難度：0.7

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• 3．已知△ABC所在平面外一點(diǎn)P，且PA，PB，PC兩兩垂直，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影應(yīng)為△ABC的

  心．
  組卷：212引用：2難度：0.6

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• 4．某校要從高一、高二、高三共2023名學(xué)生中選取50名組成志愿團(tuán)，若先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從2023名學(xué)生中剔除23名，再?gòu)氖Ｏ碌?000名學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取50名，則每名學(xué)生入選的可能性

  ．
  組卷：98引用：1難度：0.7

  解析

• 5．在

  （

  x

  -

  2

  x

  ）

  9

  的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x³項(xiàng)的系數(shù)是

  ．
  組卷：132引用：3難度：0.8

  解析

• 6．已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm²）為2π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：cm）是

  ．
  組卷：2539引用：12難度：0.7

  解析

• 7．如圖所示：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=BB₁，則平面A₁B₁C與平面ABC所成的二面角的大小為

  ．
  組卷：449引用：5難度：0.5

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三、解答題

• 20．《瀑布》（圖1）是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會(huì)源源不斷地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至極，但又會(huì)讓你百看不膩，畫(huà)面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他沒(méi)發(fā)現(xiàn)什么不對(duì)勁．此時(shí)，他既是畫(huà)外的觀看者，也是埃舍爾自己．畫(huà)面兩座高塔各有一個(gè)幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”由三個(gè)正方體構(gòu)成，右塔上的幾何體是首次出現(xiàn)，后稱“埃舍爾多面體”（圖2）
  
  埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個(gè)正方形構(gòu)造，設(shè)邊長(zhǎng)均為2，定義正方形A_nB_nC_nD_n，n=1，2，3的頂點(diǎn)為“框架點(diǎn)”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點(diǎn)為“極點(diǎn)”，記為P_n，Q_n，將極點(diǎn)P₁，Q₁，分別與正方形A₂B₂C₂D₂的頂點(diǎn)連線，取其中點(diǎn)記為E_m，F(xiàn)_m，m=1，2，3，4，如（圖3）．埃舍爾多面體可視部分是由12個(gè)四棱錐構(gòu)成，這些四棱錐頂點(diǎn)均為“框架點(diǎn)”，底面四邊形由兩個(gè)“極點(diǎn)”與兩個(gè)“中點(diǎn)”構(gòu)成，為了便于理解，圖4我們構(gòu)造了其中兩個(gè)四棱錐A₁-P₁E₁P₂E₂與A₂-P₂E₁P₃F₁
  （1）求異面直線P₁A₂與Q₁B₂成角余弦值；
  （2）求平面P₁A₁E₁與平面A₁E₂P₂的夾角正弦值；
  （3）求埃舍爾體的表面積與體積（直接寫(xiě)出答案）．
  組卷：220引用：7難度：0.3

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• 21．隨著網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展，電子商務(wù)成為新的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)點(diǎn)，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)也日趨激烈，除了產(chǎn)品品質(zhì)外，客服團(tuán)隊(duì)良好的服務(wù)品質(zhì)也是電子商務(wù)的核心競(jìng)爭(zhēng)力，衡量一位客服工作能力的重要指標(biāo)-詢單轉(zhuǎn)化率，是指咨詢?cè)摽头念櫩椭谐山蝗藬?shù)占比，可以看作一位顧客咨詢?cè)摽头蟪山坏母怕?，已知某網(wǎng)店共有10位客服，按詢單率分為A，B兩個(gè)等級(jí)（見(jiàn)表），且視A，B等級(jí)客服的詢單轉(zhuǎn)化率分別為對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值．
  

  等級(jí)	A	B
  詢單轉(zhuǎn)化率	[70%，90%）	[50%，70%）
  人數(shù)	6	4

  （1）求該網(wǎng)店詢單轉(zhuǎn)化率的平均值；
  （2）現(xiàn)從這10位客服中任意抽取4位進(jìn)行培訓(xùn)，求這4人的詢單轉(zhuǎn)化率的中位數(shù)不低于70%的概率；
  （3）已知該網(wǎng)店日均咨詢顧客約為1萬(wàn)人，為保證服務(wù)質(zhì)量，每位客服日接待顧客的數(shù)量不超過(guò)1300人．在網(wǎng)店的前期經(jīng)營(yíng)中，進(jìn)店咨詢的每位顧客由系統(tǒng)等可能地安排給任一位客服接待，為了提升店鋪成交量，網(wǎng)店實(shí)施改革，經(jīng)系統(tǒng)調(diào)整，進(jìn)店咨詢的每位顧客被任一位A等級(jí)客服接待的概率為a,被任一位B等級(jí)客服接待的概率為b,若希望改革后經(jīng)咨詢?nèi)站山蝗藬?shù)至少比改革前增加300人，則a應(yīng)該控制在什么范圍？
  組卷：96引用：1難度：0.4

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