人教五四新版九年級(jí)（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（23）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖①，雙曲線y=

  k

  x

  （k≠0）和拋物線y=ax²+bx（a≠0）交于A、B、C三點(diǎn)，其中B（3，1），C（-1，-3），直線CO交雙曲線于另一點(diǎn)D，拋物線與x軸交于另一點(diǎn)E．
  （1）求雙曲線和拋物線的解析式；
  （2）拋物線在第一象限部分是否存在點(diǎn)P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
  （3）如圖②，過(guò)B作直線l⊥OB，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥l于點(diǎn)F，BD與OF交于點(diǎn)N，求

  DN

  NB

  的值．
  
  組卷：556引用：52難度：0.1

  解析

• 2．如圖，拋物線y=ax²+bx-3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），連接BC．
  （1）求該拋物線的解析式和對(duì)稱軸，并寫出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)；
  （2）將線段BC先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C₁恰好落在該拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)C₁的坐標(biāo)和m的值；
  （3）若點(diǎn)P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P，Q，B，C四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  組卷：1080引用：51難度：0.1

  解析

• 3．已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，直線AC解析式為y=kx+4，
  （1）求二次函數(shù)解析式；
  （2）若

  S

  △

  AOB

  S

  △

  BOC

  =

  1

  3

  ，求k；
  （3）若以BC為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求k.
  組卷：731引用：50難度：0.1

  解析

• 4．如圖，已知直線l的解析式為y=

  1

  2

  x-1，拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m,0），B（2，0），D（1，

  5

  4

  ）三點(diǎn)．
  （1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象；
  （2）已知點(diǎn) P（x,y）為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)PE與直線l交于點(diǎn)F，請(qǐng)你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （3）將（2）中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連，求證：直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上．
  組卷：520引用：52難度：0.1

  解析

• 5．如圖，已知拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．
  （1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
  （2）若點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求△BPN的周長(zhǎng)；
  （3）在（2）的條件下，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
  組卷：6379引用：60難度：0.1

  解析

• 6．已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點(diǎn)．
  （1）求這條拋物線的解析式；
  （2）如圖一，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （3）如圖二，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  
  組卷：1565引用：55難度：0.1

  解析

• 7．已知拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，對(duì)稱軸與BC相交于點(diǎn)N，與x軸交于點(diǎn)D．
  （1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
  （2）連接ON，AC，證明：∠NOB=∠ACB；
  （3）點(diǎn)E是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，當(dāng)點(diǎn)E到直線BC的距離為

  2

  2

  時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
  （4）在滿足（3）的條件下，連接EN，并延長(zhǎng)EN交y軸于點(diǎn)F，E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對(duì)稱嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：639引用：50難度：0.1

  解析

• 8．已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），且過(guò)點(diǎn)（-1，

  5

  4

  ），直線y=kx+2與y軸相交于點(diǎn)P，與二次函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
  （1）求該二次函數(shù)的解析式．
  （2）對(duì)（1）中的二次函數(shù)，當(dāng)自變量x取值范圍在-1＜x＜3時(shí)，請(qǐng)寫出其函數(shù)值y的取值范圍；（不必說(shuō)明理由）
  （3）求證：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，必存在定點(diǎn)G，使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，并求△GAB面積的最小值．
  （注：在解題過(guò)程中，你也可以閱讀后面的材料）
  附：閱讀材料
     任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比．
     即：設(shè)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，
     則：x₁+x₂=-

  b

  a

  ，x₁?x₂=

  c

  a

  
     能靈活運(yùn)用這種關(guān)系，有時(shí)可以使解題更為簡(jiǎn)單．
     例：不解方程，求方程x²-3x=15兩根的和與積．
     解：原方程變?yōu)椋簒²-3x-15=0
  ∵一元二次方程的根與系數(shù)有關(guān)系：x₁+x₂=-

  b

  a

  ，x₁?x₂=

  c

  a

  
  ∴原方程兩根之和=-

  -

  3

  1

  =3，兩根之積=

  -

  15

  1

  =-15．
  組卷：575引用：50難度：0.1

  解析

• 9．如圖，已知拋物線y=ax²-

  3

  2

  x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，并與直線y=

  1

  2

  x-2交于B、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C是直線y=

  1

  2

  x-2與y軸的交點(diǎn)，連接AC．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）證明：△ABC為直角三角形；
  （3）△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：1736引用：59難度：0.1

  解析

• 10．如圖，已知c＜0，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)（x₂＞x₁），與y軸交于點(diǎn)C．
  （1）若x₂=1，BC=

  5

  ，求函數(shù)y=x²+bx+c的最小值；
  （2）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC，垂足為P（點(diǎn)P在線段BC上），AP交y軸于點(diǎn)M．若

  OA

  OM

  =2，求拋物線y=x²+bx+c頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．
  組卷：1083引用：50難度：0.3

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+（k-1）x-k與直線y=kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．
  （1）如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
  （2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （3）如圖2，拋物線y=x²+（k-1）x-k（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  
  組卷：6527引用：72難度：0.1

  解析

• 30．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-

  4

  3

  x²+bx+c與x軸交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），已知點(diǎn)E（m,0）是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H．
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PG的長(zhǎng)度；
  （3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：6122引用：62難度：0.1

  解析