2023-2024學年吉林省長春市博碩學校高三（上）期初數學試卷

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）

• 1．已知集合M={-1，1}，下列選項正確的是（　?。?/h2>

  A．{-1}∈M

  B．?∈M

  C．-1?M

  D．{-1}?M
  組卷：99引用：3難度：0.8

  解析

• 2．2^x＞2是x²＞1的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：2難度：0.6

  解析

• 3．某市一次高三模擬考試一共有3.2萬名考生參加，他們的總分ξ服從正態(tài)分布N（480，σ²），若P（430≤ξ≤530）=0.78，則總分高于530分的考生人數為（　?。?/h2>

  A．2400

  B．3520

  C．8520

  D．12480
  組卷：309引用：7難度：0.8

  解析

• 4．已知

  C

  0

  n

  +

  2

  C

  1

  n

  +

  2

  2

  C

  2

  n

  +

  2

  3

  C

  3

  n

  +

  ?

  +

  2

  n

  C

  n

  n

  =

  81

  ，則

  C

  1

  n

  +

  C

  2

  n

  +

  C

  3

  n

  +

  ?

  +

  C

  n

  n

  等于（　?。?/h2>

  A．15

  B．16

  C．7

  D．8
  組卷：407引用：6難度：0.8

  解析

• 5．在射擊比賽中，甲乙兩人對同一目標各進行一次射擊，甲擊中目標的概率為

  3

  5

  ，乙擊中目標的概率為

  4

  5

  ，在目標被擊中的情況下，甲擊中目標的概率為（　?。?/h2>

  A． 3 4

  B． 12 25

  C． 15 23

  D． 3 7
  組卷：742引用：4難度：0.8

  解析

• 6．設某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產的．且甲、乙、丙三廠生產該種X光片的次品率依次為

  1

  10

  ，

  1

  15

  ，

  1

  20

  ，現從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（　?。?/h2>

  A．0.08

  B．0.1

  C．0.15

  D．0.2
  組卷：2065引用：17難度：0.7

  解析

四、解答題（本題共4小題，共50分，解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟）

• 17．某品牌中性筆研發(fā)部門從流水線上隨機抽取100件產品，統(tǒng)計其性能指數并繪制頻率分布直方圖（如圖1）
  
  產品的性能指數在[50，70）的適合兒童使用（簡稱A類產品），在[70，90）的適合少年使用（簡稱B類產品），在[90，110]的適合青年使用（簡稱C類產品），A，B，C三類產品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）．以這100件產品的性能指數位于各區(qū)間的頻率代替產品的性能指數位于該區(qū)間的概率．
  （1）該公司為了解年營銷費用x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷費用x_i和年銷售量y_i（i=1，2，3，4，5）的數據做了初步處理，得到散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值（如下表）．
  

  5 ∑ i = 1 u i	5 ∑ i = 1 v i	5 ∑ i = 1 （ u i - u ） （ v i - v ）	5 ∑ i = 1 （ u i - u ） 2
  16.30	24.87	0.41	1.64

  表中

  u

  i

  =

  ln

  x

  i

  ，

  v

  i

  =

  ln

  y

  i

  ，

  u

  =

  1

  5

  5

  ∑

  i

  =

  1

  u

  i

  ，

  v

  =

  1

  5

  5

  ∑

  i

  =

  1

  v

  i

  ．
  根據散點圖判斷，y=a?x^b可以作為年銷售量y（萬件）關于年營銷費用x（萬元）的回歸方程，求y關于x的回歸方程；（取e^4.159=64）
  （2）求每件產品的平均銷售利潤；并用所求的回歸方程估計該公司應投入多少營銷費，才能使得該產品一年的收益達到最大？（收益=銷售利潤-營銷費用）
  參考公式：對于一組數據（u₁，v₁），（u₂，v₂），?，（u_n，v_n），其回歸直線

  ?

  v

  =

  ?

  α

  +

  ?

  β

  u

  的斜率和截距的最小二乘估計分別為

  ?

  β

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  u

  i

  -

  u

  ）

  （

  v

  i

  -

  v

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  u

  i

  -

  u

  ）

  2

  ，

  ?

  α

  =

  v

  -

  ?

  β

  u

  ．
  組卷：52引用：2難度：0.4

  解析

• 18．（1）證明：當x＜1時，x+1≤e^x≤

  1

  1

  -

  x

  ；
  （2）是否存在正數a,使得f（x）=2e^x+asinx-ax²-（a+2）x在R上單調遞增，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
  組卷：28引用：3難度：0.5

  解析