2023-2024學(xué)年北京市清華大學(xué)附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．

• 1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)

  z

  =

  1

  -

  3

  i

  1

  -

  i

  ，則|z|等于（　?。?/div>

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D． 5
  組卷：32引用：4難度：0.8

  解析
• 2．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ）

  ，

  a

  -

  b

  =

  （

  4

  ，-

  2

  ）

  ，則

  cos

  ?

  a

  ，

  b

  ?

  等于（　?。?/div>

  A． 1 5

  B． 2 5

  C． 5 5

  D． 2 5 5
  組卷：224引用：3難度：0.8

  解析
• 3．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  3

  sin

  （

  4

  x

  +

  φ

  ）

  （

  0

  ＜

  φ

  ＜

  π

  2

  ）

  滿足

  f

  （

  π

  12

  ）

  =

  3

  ，則

  f

  （

  π

  3

  ）

  等于（　?。?/div>

  A．3

  B． 3 2

  C．0

  D．-3
  組卷：203引用：3難度：0.5

  解析
• 4．已知平面α與平面β間的距離為3，定點(diǎn)A∈α，設(shè)集合S={B∈β|AB=5}，則S表示的曲線的長(zhǎng)度為（　?。?/div>

  A．6π

  B．8π

  C．10π

  D．12π
  組卷：38引用：3難度：0.7

  解析
• 5．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），則

  f

  （

  1

  ）

  ，

  f

  （

  2

  ）

  2

  ，

  f

  （

  3

  ）

  3

  的大小關(guān)系為（　?。?/div>

  A． f （ 1 ） ＜ f （ 2 ） 2 ＜ f （ 3 ） 3	B． f （ 3 ） 3 ＜ f （ 1 ） ＜ f （ 2 ） 2
  C． f （ 3 ） 3 ＜ f （ 2 ） 2 ＜ f （ 1 ）	D． f （ 2 ） 2 ＜ f （ 1 ） ＜ f （ 3 ） 3
  組卷：328引用：10難度：0.8

  解析
• 6．已知直線l恒過(guò)點(diǎn)（0，5），圓C：（x-3）²+y²=9，則“直線l的斜率為

  -

  8

  15

  ”是“直線l與圓C相切”的（　?。?/div>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：66引用：3難度：0.6

  解析
• 7．在△ABC中，

  sin

  B

  =

  2

  sin

  A

  ，

  ∠

  C

  =

  105

  °

  ，

  c

  =

  3

  +

  1

  ，則△ABC的面積為（　?。?/div>

  A． 3 - 1 2

  B． 3 - 1

  C． 3 + 1 2

  D． 3 + 1
  組卷：114引用：3難度：0.6

  解析

三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驗(yàn)或證明過(guò)程．

• 20．已知函數(shù)f（x）=ax+

  b

  x

  +

  2

  ln

  （

  1

  -

  x

  ）

  ，曲線y=f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為y+3-2ln2=0．
  （1）求a,b的值；
  （2）求函數(shù)f（x）的定義域及單調(diào)區(qū)間；
  （3）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
  組卷：105引用：4難度：0.3

  解析
• 21．設(shè)k,m是正整數(shù)，如果存在非負(fù)整數(shù)a₁，a₂，?，a_k，c₁，c₂，?，c_k使得

  m

  =

  k

  ∑

  i

  =

  1

  （

  -

  1

  ）

  a

  i

  2

  c

  i

  ，則稱(chēng)m是k-好數(shù)，否則稱(chēng)m是k-壞數(shù)．例如：2=（-1）⁰?2⁰+（-1）⁰?2⁰，所以2是2-好數(shù)．
  （1）分別判斷22，23，24是否為3-好數(shù)；
  （2）若m是偶數(shù)且是k-好數(shù)，求證：m是（k+1）-好數(shù)，且

  m

  2

  是k-好數(shù)；
  （3）求最少的2023-壞數(shù)．
  組卷：167引用：3難度：0.2

  解析