滬教版高二（下）高考題同步試卷：12.8 拋物線的性質(zhì)（03）

一、解答題（共30小題）

• 1．圓x²+y²=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點為P（如圖）．
  （Ⅰ）求點P的坐標(biāo)；
  （Ⅱ）焦點在x軸上的橢圓C過點P，且與直線l：y=x+

  3

  交于A、B兩點，若△PAB的面積為2，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
  組卷：986引用：10難度：0.1

  解析

• 2．如圖，設(shè)橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0），動直線l與橢圓C只有一個公共點P，且點P在第一象限．
  （Ⅰ）已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點P的坐標(biāo)；
  （Ⅱ）若過原點O的直線l₁與l垂直，證明：點P到直線l₁的距離的最大值為a-b.
  組卷：2334引用：8難度：0.1

  解析

• 3．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率為

  3

  2

  ，左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，以F₁為圓心以3為半徑的圓與以F₂為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上．
  （Ⅰ）求橢圓C的方程；
  （Ⅱ）設(shè)橢圓E：

  x

  2

  4

  a

  2

  +

  y

  2

  4

  b

  2

  =1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q．
  （ⅰ）求|

  OQ

  OP

  |的值；
  （ⅱ）求△ABQ面積的最大值．
  組卷：5385引用：14難度：0.5

  解析

• 4．已知橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的半焦距為c,原點O到經(jīng)過兩點（c,0），（0，b）的直線的距離為

  1

  2

  c.
  （Ⅰ）求橢圓E的離心率；
  （Ⅱ）如圖，AB是圓M：（x+2）²+（y-1）²=

  5

  2

  的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A、B兩點，求橢圓E的方程．
  組卷：5000引用：42難度：0.5

  解析

• 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率為

  2

  2

  ，且右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3．
  （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程．
  組卷：4778引用：7難度：0.5

  解析

• 6．如圖，橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（0，-1），且離心率為

  2

  2

  ．
  （Ⅰ）求橢圓E的方程；
  （Ⅱ）經(jīng)過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ斜率之和為2．
  組卷：10052引用：36難度：0.5

  解析

• 7．已知橢圓C：x²+3y²=3，過點D（1，0）且不過點E（2，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M．
  （1）求橢圓C的離心率；
  （2）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；
  （3）試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由．
  組卷：3029引用：15難度：0.5

  解析

• 8．已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左焦點為F（-c,0），離心率為

  3

  3

  ，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x²+y²=

  b

  2

  4

  截得的線段的長為c,|FM|=

  4

  3

  3

  ．
  （Ⅰ）求直線FM的斜率；
  （Ⅱ）求橢圓的方程；
  （Ⅲ）設(shè)動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于

  2

  ，求直線OP（O為原點）的斜率的取值范圍．
  組卷：5164引用：15難度：0.5

  解析

• 9．已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的上頂點為B，左焦點為F，離心率為

  5

  5

  ．
  （Ⅰ）求直線BF的斜率．
  （Ⅱ）設(shè)直線BF與橢圓交于點P（P異于點B），過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q（Q異于點B），直線PQ與y軸交于點M，|PM|=λ|MQ|．
  （i）求λ的值．
  （ii）若|PM|sin∠BQP=

  7

  5

  9

  ，求橢圓的方程．
  組卷：2948引用：5難度：0.5

  解析

• 10．橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1，（a＞b＞0）的離心率

  2

  2

  ，點（2，

  2

  ）在C上．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．
  組卷：7988引用：37難度：0.3

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．過拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點F作斜率分別為k₁，k₂的兩條不同直線l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁與E交于點A，B，l₂與E交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在直線記為l.
  （Ⅰ）若k₁＞0，k₂＞0，證明：

  FM

  ?

  FN

  ＜

  2

  p

  2

  ；
  （Ⅱ）若點M到直線l的距離的最小值為

  7

  5

  5

  ，求拋物線E的方程．
  組卷：1421引用：8難度：0.1

  解析

• 30．如圖，橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  經(jīng)過點P（1，

  3

  2

  ），離心率e=

  1

  2

  ，直線l的方程為x=4．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃．問：是否存在常數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．
  組卷：4829引用：77難度：0.1

  解析