如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的中線，AC=3，BC=4，點Q是CB延長線上的一動點，過點Q作QP⊥CD，交CD的延長線于點P．
（1）當點B為CQ的中點時，求PD的長；
（2）設BQ=x,PD=y,求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）過點B作BF⊥AB交PQ于F，當△BDF和△ABC相似時，求BQ的長．
【考點】相似形綜合題．
【答案】（1）；
（2）y關于x的函數(shù)關系式，x的取值范圍為x＞0；
（3）BQ的長為4或．
39
10
（2）y關于x的函數(shù)關系式
y
=
4
5
x
+
7
10
（3）BQ的長為4或
9
4
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/6/1 14:30:2組卷：228引用：1難度：0.2
相似題
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1．課本再現(xiàn)：
如圖1，DE是△ABC的中位線．求證：DE∥BC，DE=BC．12
小明思考了一會，覺得可以通過證△ADE∽△ABC從而得到該定理的證明．
定理證明：
（1）請你根據(jù)小明的思路，結合圖1，給出該定理的證明過程．
定理運用：
（2）如圖2，在菱形ABCD中，∠B=60°，E是AD上一點，M，N分別是CE，AE的中點，且MN=1，則菱形ABCD的周長為 ．發(fā)布：2025/6/6 16:0:1組卷：50引用：1難度：0.6 -
2．【基礎鞏固】
（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，求證：∠A=2∠BCD．
【嘗試應用】
（2）如圖2，在△ABC中，∠B=90°，D為邊AB上一點，∠A=2∠BCD，BD?AC=5．求CD的長．
【嘗試應用】
（3）如圖3，四邊形ABCD為矩形，連接BD，將矩形ABCD繞點B旋轉(zhuǎn)至矩形EBFG，使得邊EG經(jīng)過點C，EG交BD于點H，若EH=CG=1，求BH2的值．
發(fā)布：2025/6/6 8:30:1組卷：318引用：2難度：0.2 -
3．如圖，在矩形ABCD中，點P是BC邊上任意一點（點P不與B、C重合），連接AP，作PQ⊥AP，交CD于點Q，若AB=3，BC=4．
（1）試證明：△ABP∽△PCQ；
（2）當BP為多少時，CQ最長，最長是多少？
（3）試探究，是否存在一點P，使△APQ是等腰直角三角形？發(fā)布：2025/6/6 4:0:1組卷：209引用：4難度：0.2