如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為倍角三角形，并稱這兩個(gè)角的公共邊為底邊．

例如：若△ABC中，∠A=2∠B，則△ABC為以邊AB為底邊的倍角三角形．
問(wèn)題提出
（1）已知△ABC為倍角三角形，且∠ABC=2∠C．
①如圖1，若BD為△ABC的角平分線，則圖中相等的線段有
BD=CD
BD=CD
，圖中相似三角形有
△ABD∽△ACB
△ABD∽△ACB
；
②如圖2，若AC的中垂線交邊BC于點(diǎn)E，連接AE，則圖中等腰三角形有
△ACE和△ABE
△ACE和△ABE
．
問(wèn)題解決
（2）如圖3，現(xiàn)有一塊梯形板材ABCD，AD∥BC，∠A=90°，AB=48，BC=132，AD=68．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)△BCP型部件，使得點(diǎn)P在梯形ABCD的邊上，且△BCP為以BC為底邊的倍角三角形．工人師傅在這塊板材上的作法如下：
①作BC的中垂線l交BC于點(diǎn)E；
②在BC上方的直線l上截取EF=33，連接CF并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)P；
③連接BP，得△BCP．
1）請(qǐng)問(wèn)，若按上述作法，裁得的△BCP型部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的想法．
2）是否存在其它滿足要求的△BCP？若存在，請(qǐng)畫(huà)出圖形并求出CP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【考點(diǎn)】相似形綜合題．

【答案】BD=CD；△ABD∽△ACB；△ACE和△ABE

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/9/9 5:0:8組卷：306引用：1難度：0.2

相似題

3．【閱讀】“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思維方式，角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……
（1）【問(wèn)題提出】如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證
PA
PB
=
AC
BC
．

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過(guò)點(diǎn)B作BD∥PA，交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，利用“三角形相似”．
小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，過(guò)點(diǎn)C分別作CD⊥PA交PA于點(diǎn)D，作CE⊥PB交PB于點(diǎn)E，利用“等面積法”．

請(qǐng)根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明；
（2）【理解應(yīng)用】填空：如圖②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，則BD長(zhǎng)度為
；
（3）【深度思考】如圖③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．若AC=1，AB=2，則DE的長(zhǎng)為
；
（4）【拓展升華】如圖④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD為∠BAC的角平分線，AD的垂直平分線EF交BC延長(zhǎng)線于F，連接AF，當(dāng)BD=3時(shí)，AF的長(zhǎng)為
．

發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：312引用：1難度：0.1

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