已知圓P過點M（0，2），N（3，1），且圓心P在直線l：x-y=0上，過點Q（-1，1）的直線交圓P于A，B兩點，過點A，B分別作圓P的切線，記為l1，l2．
（Ⅰ）求圓P的方程；
（Ⅱ）求證：直線l1，l2的交點都在同一條直線上，并求出這條直線的方程．
3
【考點】過圓上一點的圓的切線方程．
【答案】（Ⅰ）x2+y2=4．
（Ⅱ）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l1，l2的交點F（x0，y0），
若E（x，y） 為直線l1上任意一點，則=0，
得 x1（x-x1）+y1（y-y1）=0，
∵+=4
∴x1x+y1y=4，即A 處的圓P 的切線方程l1：x1x+y1y=4，
同理可得，在點B處的圓P 的切線方程為l2：x2x+y2y=4，
由直線l1，l2 過點F（x0，y0），
∴x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
∴點A，B滿足方程x0x+y0y=4，
即直線AB的方程為x0x+y0y=4，
又因為直線AB過點Q （-1，1），
∴-x0+y0=4，即x0-y0+4=0，
∴直線l1，l2的交點都在直線同一條直線上，且直線方程為x-y+4=0．
（Ⅱ）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l1，l2的交點F（x0，y0），
若E（x，y） 為直線l1上任意一點，則
AE
?
OA
得 x1（x-x1）+y1（y-y1）=0，
∵
x
2
1
y
2
1
∴x1x+y1y=4，即A 處的圓P 的切線方程l1：x1x+y1y=4，
同理可得，在點B處的圓P 的切線方程為l2：x2x+y2y=4，
由直線l1，l2 過點F（x0，y0），
∴x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
∴點A，B滿足方程x0x+y0y=4，
即直線AB的方程為x0x+y0y=4，
又因為直線AB過點Q （-1，1），
∴-x0+y0=4，即x0-y0+4=0，
∴直線l1，l2的交點都在直線同一條直線上，且直線方程為x-y+4=0．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：19引用：3難度：0.6
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