【問(wèn)題提出】如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的度數(shù)．
【數(shù)學(xué)思考】當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來(lái)解決問(wèn)題．
【嘗試解決】（1）將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP'B，連接PP'，則△APP'為等邊三角形．
∵P'P=PA=3，PB=4，P'B=PC=5，
∴P'P2+PB2=P'B2，
△BPP'為直角直角三角形，
∴∠APB的度數(shù)為150°150°．
【類(lèi)比探究】（2）如圖2，在等邊三角形ABC外部有一點(diǎn)P，若∠BPA=30°，求證：PA2+PB2=PC2．
【聯(lián)想拓展】（3）如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點(diǎn)P在直線BC上方且∠APB=45°，PC=BC=25，求PA的長(zhǎng)．
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【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．
【答案】直角；150°
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/4 8:0:9組卷：1012引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，CD=5，DE∥AB．將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，=；②當(dāng)α=180°時(shí)，AEBD=．AEBD
（2）試判斷：當(dāng)0≤α≤360°時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖②的情形給出證明．AEBD
（3）當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)到A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出線段BD的長(zhǎng)．
發(fā)布：2025/5/23 20:0:1組卷：194引用：3難度：0.3 -
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABO，∠BAO=90°，∠ABO=30°，B（-8，0）．將三角形ABO繞著點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A與A1，點(diǎn)B與B1相重合．
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，求點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)B1落在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求點(diǎn)B1的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，求EB1的最大值和最小值．（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）發(fā)布：2025/5/23 18:0:1組卷：688引用：5難度：0.1 -
3．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，以AE為斜邊，在△ABC外，作△ADE，使得∠ADE=90°，且DE=DA．現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BE．
（1）如圖2，當(dāng)α=15°且BE∥AD時(shí)，求BE的長(zhǎng)；
（2）連接CE，設(shè)CE的中點(diǎn)為點(diǎn)F，AE的中點(diǎn)為點(diǎn)H，連接DF，直線DF與線段BE交于點(diǎn)G，連接GH．
①求證：DF⊥BE；
②探索線段GH，GD，GE之間的數(shù)量關(guān)系．發(fā)布：2025/5/23 22:0:2組卷：430引用：2難度：0.2