已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（0＜a＜1）的最小值為1，且直線y=x-34與二次函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2和4．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）如圖1，以點(diǎn)H（1，h）（h＞32）為圓心，12為半徑作圓，拋物線y=ax2+bx+c上僅有唯一點(diǎn)J，使得過點(diǎn)J向⊙H作切線的切線段JK長度最小，求h的取值范圍．
（3）如圖2，過定點(diǎn)F（1，2）的直線y=kx-k+2（k＞0）與拋物線y=ax2+bx+c交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，與x軸交于R點(diǎn)，令θ=∠ARO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（i）判斷以A為圓心，AF為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并加以證明．
（ii）cosθ為何值時(shí)，x軸上存在點(diǎn)Q，使得△ABQ為等邊三角形，并求出此時(shí)△ABQ的面積．
3
4
3
2
1
2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=x2-x+；
（2）＜h≤3；
（3）（i）證明見解答；（ii）cosθ=，△ABQ的面積=36．
1
4
1
2
5
4
（2）
3
2
（3）（i）證明見解答；（ii）cosθ=
3
3
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/9/29 0:0:1組卷：130引用：1難度：0.2
相似題
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1．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/6/25 8:30:1組卷：6971引用：21難度：0.1 -
2．給定一個(gè)函數(shù)，如果這個(gè)函數(shù)的圖象上存在一個(gè)點(diǎn)，它的橫、縱坐標(biāo)相等，那么這個(gè)點(diǎn)叫做該函數(shù)的不變點(diǎn)．
（1）一次函數(shù)y=3x-2的不變點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）二次函數(shù)y=x2-3x+1的兩個(gè)不變點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q（P在Q的左側(cè)），將點(diǎn)Q繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)R，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．
（3）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3的兩個(gè)不變點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如圖，設(shè)拋物線y=ax2+bx-3與線段AB圍成的封閉圖形記作M．點(diǎn)C為一次函數(shù)y=-x+m的不變點(diǎn)，以線段AC為邊向下作正方形ACDE．當(dāng)D、E兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在封閉圖形M的內(nèi)部（不包含邊界）時(shí)，求出m的取值范圍．13發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：348引用：2難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．發(fā)布：2025/6/25 6:0:1組卷：1079引用：59難度：0.5
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