已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點(diǎn)間的距離為6．
（I）求a,b；
（II）設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF1|=|BF1|，證明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
6
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的幾何特征．
【答案】（I）a=1，b=2．
（II）證明：由（I）知，F(xiàn)1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），C的方程為8x2-y2=8 ①
由題意，可設(shè)l的方程為y=k（x-3），|k|＜2代入①并化簡得（k2-8）x2-6k2x+9k2+8=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1≤-1，x2≥1，x1+x2=，，于是
|AF1|= =-（3x1+1），
|BF1|= =3x2+1，
|AF1|=|BF1|得-（3x1+1）=3x2+1，即
故=，解得，從而=-
由于|AF2|= =1-3x1，
|BF2|= =3x2-1，
故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）-9x1x2-1=16
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列．
2
（II）證明：由（I）知，F(xiàn)1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），C的方程為8x2-y2=8 ①
由題意，可設(shè)l的方程為y=k（x-3），|k|＜2
2
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1≤-1，x2≥1，x1+x2=
6
k
2
k
2
-
8
x
1
x
2
=
9
k
2
+
8
k
2
-
8
|AF1|=
（
x
1
+
3
）
2
+
y
1
2
=
（
x
1
+
3
）
2
+
8
x
1
2
-
8
|BF1|=
（
x
2
+
3
）
2
+
y
2
2
=
（
x
2
+
3
）
2
+
8
x
2
2
-
8
|AF1|=|BF1|得-（3x1+1）=3x2+1，即
x
1
+
x
2
=
-
2
3
故
6
k
2
k
2
-
8
-
2
3
k
2
=
4
5
x
1
x
2
=
9
k
2
+
8
k
2
-
8
19
9
由于|AF2|=
（
x
1
-
3
）
2
+
y
1
2
=
（
x
1
-
3
）
2
+
8
x
1
2
-
8
|BF2|=
（
x
2
-
3
）
2
+
y
2
2
=
（
x
2
-
3
）
2
+
8
x
2
2
-
8
故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）-9x1x2-1=16
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：2013引用：12難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：103引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7
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