函數(shù)一直都是初中數(shù)學(xué)所研究的關(guān)鍵，其種類繁多數(shù)不勝數(shù)，我們所熟知的函數(shù)就有“一次函數(shù)”、“二次函數(shù)”和“反比例函數(shù)”．
現(xiàn)在給出分段函數(shù)的定義：對(duì)于自變量x的不同的取值范圍有不同的解析式的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的整體我們稱為f（x）．
例如：f（x）=x2，0＜x＜1 2x,x＞1
這個(gè)函數(shù)在0＜x＜1是y=x2，在x＞1時(shí)是2x,這兩個(gè)不同區(qū)域的函數(shù)組合形成了函數(shù)f（x）．
接下來(lái)為絕對(duì)值方程：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若給出方程|x|+|y|=1，那么其圖象可以看作是兩個(gè)分段函數(shù)y=-x+1，0＜x≤1 x+1，-1＜x≤0
與y=x-1，0＜x＜1 -x-1，-1≤x＜0
．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知分段函數(shù)f（x）=x2-2x-k,-2＜x＜3 -10x，x≤-2 k+1kx-（k+1），x≥3
與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線y=k+1kx-（k+1）與函數(shù)f（x）交于點(diǎn)（13，-329）．
（1）求分段函數(shù)f（x）的最小值；
（2）設(shè)f（x）最小值所在點(diǎn)為D，點(diǎn)E在f（x）上，且S△ABE=S四邊形ABDC-1，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）?。诘冢?）問(wèn)的條件下，求證：△ACO∽△DBC；
ⅱ．在方程|2x|+|y|+x=3上取一點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別在f（x）與直線BC上，若△PMN為等腰直角三角形，且點(diǎn)P關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在直線BC上，試問(wèn)：是否存在這樣的△PMN，若存在求其周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
x 2 ， 0 ＜ x ＜ 1 |
2 x , x ＞ 1 |
- x + 1 ， 0 ＜ x ≤ 1 |
x + 1 ，- 1 ＜ x ≤ 0 |
x - 1 ， 0 ＜ x ＜ 1 |
- x - 1 ，- 1 ≤ x ＜ 0 |
x 2 - 2 x - k ,- 2 ＜ x ＜ 3 |
- 10 x ， x ≤ - 2 |
k + 1 k x - （ k + 1 ） ， x ≥ 3 |
k
+
1
k
x
-
（
k
+
1
）
（
1
3
，-
32
9
）
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）f（x）的最小值為-4；
（2）E點(diǎn)坐標(biāo)為（1-2，4）或（1，-4）或（-，4）或（6，4）；
（3）i．證明見(jiàn)解析；
ii．存在，周長(zhǎng)為．
（2）E點(diǎn)坐標(biāo)為（1-2
2
5
2
（3）i．證明見(jiàn)解析；
ii．存在，周長(zhǎng)為
3
2
+
6
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/5/5 8:0:9組卷：224引用：1難度：0.2
相似題
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1．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/6/25 8:30:1組卷：6972引用：21難度：0.1 -
2．給定一個(gè)函數(shù)，如果這個(gè)函數(shù)的圖象上存在一個(gè)點(diǎn)，它的橫、縱坐標(biāo)相等，那么這個(gè)點(diǎn)叫做該函數(shù)的不變點(diǎn)．
（1）一次函數(shù)y=3x-2的不變點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）二次函數(shù)y=x2-3x+1的兩個(gè)不變點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q（P在Q的左側(cè)），將點(diǎn)Q繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)R，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．
（3）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3的兩個(gè)不變點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如圖，設(shè)拋物線y=ax2+bx-3與線段AB圍成的封閉圖形記作M．點(diǎn)C為一次函數(shù)y=-x+m的不變點(diǎn)，以線段AC為邊向下作正方形ACDE．當(dāng)D、E兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在封閉圖形M的內(nèi)部（不包含邊界）時(shí)，求出m的取值范圍．13發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：348引用：2難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．發(fā)布：2025/6/25 6:0:1組卷：1079引用：59難度：0.5