如圖1，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸正半軸交于點(diǎn)A，B，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OC=OB=3OA，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為直線BC下方該拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E為直線BC與該拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，求△PBE面積的最大值；
（3）如圖2，將該拋物線沿射線CB的方向平移22個(gè)單位后得到新拋物線y'，新拋物線y′的頂點(diǎn)為D'，過（2）問中使得△PBE面積為最大時(shí)的點(diǎn)P作平行于y軸的直線交新拋物線y'于點(diǎn)M．在新拋物線y′的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，D'，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=x2-4x+3；
（2）；
（3）存在，（4，-7）或（4，1）．
（2）
9
8
（3）存在，（4，-7）或（4，1）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：582引用：2難度：0.3
相似題
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1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y=
x2-12x-2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P．32
（1）若拋物線L2經(jīng)過點(diǎn)（2，-12），求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)BP-CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于其對(duì)稱軸的右側(cè)．若△DPQ與△ABC相似，求其“共根拋物線”L2的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．
發(fā)布：2025/5/26 11:30:1組卷：3535引用：7難度：0.1 -
2．已知關(guān)于x的拋物線的解析式為y=x2-2ax+a2+2a+1．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若拋物線與直線x=3交于點(diǎn)A，求點(diǎn)A到x軸的距離最小值；
（3）證明：不論a取何值時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)都在直線y=2x+1上；
（4）直線y=2x+1與該拋物線相交，求拋物線在這條直線上所截線段的長(zhǎng)度．發(fā)布：2025/5/26 11:30:1組卷：300引用：1難度：0.3 -
3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線
（a為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（2，m）、B（2a,n），設(shè)此拋物線在A和B之間（包括A、B兩點(diǎn)）的部分為圖象G．y=1ax2-2x-1
（1）當(dāng)a=2時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
（2）m=；n=．
（3）當(dāng)此拋物線的頂點(diǎn)在圖象G上時(shí)．
①直接寫出a的取值范圍．
②當(dāng)圖象G對(duì)應(yīng)函數(shù)值的最小值為-6時(shí)，求a的值以及此時(shí)圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）設(shè)點(diǎn)P（2a,-3-2a），以PB為邊作正方形PBMN，其中MN和y軸在PB的同側(cè)，若圖象G在正方形PBMN內(nèi)部的圖象中，y隨x的增大而增大或y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫出a的取值范圍．發(fā)布：2025/5/26 11:30:1組卷：187引用：2難度：0.3