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“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問(wèn)題,數(shù)學(xué)家們證明只使用尺規(guī)無(wú)法三等分一個(gè)任意角,但對(duì)于特定度數(shù)的已知角,如90°角、45°角、108°角等可以用尺規(guī)三等分,如果作圖工具沒(méi)有限制,將條件放寬,將任意角三等分是可以解決的.
(1)用尺規(guī)三等分特殊角.
例題解讀:如圖1,∠AOB=90°,在邊OB上取一點(diǎn)C,用尺規(guī)以O(shè)C為一邊向∠AOB內(nèi)部作等邊△OCD,作射線OD,再用尺規(guī)作出∠DOB的平分線OE,則射線OD,OE將∠AOB三等分.

?問(wèn)題1:如圖2,∠MON=45°,請(qǐng)用尺規(guī)把∠MON三等分.(不需寫(xiě)作法,但需保留作圖痕跡)
(2)折紙三等分任意銳角.
步驟一:在正方形紙片上折出任意∠SBC,將正方形ABCD對(duì)折,折痕記為MN,再將矩形MBCN對(duì)折,折痕記為EF,得到圖3;
步驟二:翻折正方形紙片使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)T在EF上,點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P在SB上,點(diǎn)E對(duì)折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為Q,折痕記為GH,得到圖4;
步驟三:折出射線BQ,BT,得到圖5,則射線BQ,BT就是∠SBC的三等分線.
下面是證明射線BQ,BT是∠SBC三等分線的部分過(guò)程.
證明:如圖5,過(guò)點(diǎn)T作TK⊥BC,垂足為K,則四邊形EBKT為矩形.
根據(jù)折疊的性質(zhì),得EB=QT,∠EBT=∠QTB,BT=TB.
∴△EBT≌△QTB(SAS).
∴∠BQT=∠TEB=90°.
∴BQ⊥PT.
?
問(wèn)題2:①將剩余部分的證明過(guò)程補(bǔ)充完整;
②若將圖3中的點(diǎn)S與點(diǎn)D重合,重復(fù)(2)中的操作過(guò)程得到圖6,請(qǐng)利用圖6計(jì)算tan15°的值,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題
【答案】(1)圖形見(jiàn)解答;
(2)①證明過(guò)程見(jiàn)解答;
②2-
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布:2024/5/16 8:0:9組卷:84引用:1難度:0.5
相似題
  • 1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的邊AB在x軸上,AB、BC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根(BC>AB),OA=2OB,邊CD交y軸于點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,從點(diǎn)E出發(fā)沿折線段ED-DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(0≤t<6)秒,設(shè)△BOP與矩形AOED重疊部分的面積為S.
    (1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
    (2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍;
    (3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn)P,使△BEP為等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    發(fā)布:2025/5/23 3:30:1組卷:862引用:5難度:0.4
  • 2.已知:菱形ABCD和菱形A′B′C′D′,∠BAD=∠B′A′D′,起始位置點(diǎn)A在邊A′B′上,點(diǎn)B在A′B′所在直線上,點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),點(diǎn)B′在點(diǎn)A′的右側(cè),連接AC和A′C′,將菱形ABCD以A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<180°).
    (1)如圖1,若點(diǎn)A與A′重合,且∠BAD=∠B′A′D′=90°,求證:BB′=DD′.
    (2)若點(diǎn)A與A′不重合,M是A′C′上一點(diǎn),當(dāng)MA′=MA時(shí),連接BM和A′C,BM和A′C所在直線相交于點(diǎn)P.
    ①如圖2,當(dāng)∠BAD=∠B′A′D′=90°時(shí),請(qǐng)猜想線段BM和線段A′C的數(shù)量關(guān)系及∠BPC的度數(shù).
    ②如圖3,當(dāng)∠BAD=∠B′A′D′=60°時(shí),請(qǐng)求出線段BM和線段A′C的數(shù)量關(guān)系及∠BPC的度數(shù).
    ③在②的條件下,若點(diǎn)A與A′B′的中點(diǎn)重合,A′B′=4,AB=2,在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BM的長(zhǎng).

    發(fā)布:2025/5/23 3:30:1組卷:1720引用:3難度:0.1
  • 3.【推理】
    如圖1,在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中,點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn),將正方形沿著B(niǎo)E折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)F處,連結(jié)BE,CF,延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G,BE與CG交于點(diǎn)M.
    (1)求證:CE=DG.
    【運(yùn)用】
    (2)如圖2,在【推理】條件下,延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H.若CE=6,求線段DH的長(zhǎng).
    【拓展】
    (3)如圖3,在【推理】條件下,連結(jié)AM.則線段AM的最小值為

    發(fā)布:2025/5/23 4:0:1組卷:423引用:5難度:0.4
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