“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題,數(shù)學(xué)家們證明只使用尺規(guī)無法三等分一個(gè)任意角,但對(duì)于特定度數(shù)的已知角,如90°角、45°角、108°角等可以用尺規(guī)三等分,如果作圖工具沒有限制,將條件放寬,將任意角三等分是可以解決的.
(1)用尺規(guī)三等分特殊角.
例題解讀:如圖1,∠AOB=90°,在邊OB上取一點(diǎn)C,用尺規(guī)以O(shè)C為一邊向∠AOB內(nèi)部作等邊△OCD,作射線OD,再用尺規(guī)作出∠DOB的平分線OE,則射線OD,OE將∠AOB三等分.

?問題1:如圖2,∠MON=45°,請(qǐng)用尺規(guī)把∠MON三等分.(不需寫作法,但需保留作圖痕跡)
(2)折紙三等分任意銳角.
步驟一:在正方形紙片上折出任意∠SBC,將正方形ABCD對(duì)折,折痕記為MN,再將矩形MBCN對(duì)折,折痕記為EF,得到圖3;
步驟二:翻折正方形紙片使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)T在EF上,點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P在SB上,點(diǎn)E對(duì)折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為Q,折痕記為GH,得到圖4;
步驟三:折出射線BQ,BT,得到圖5,則射線BQ,BT就是∠SBC的三等分線.
下面是證明射線BQ,BT是∠SBC三等分線的部分過程.
證明:如圖5,過點(diǎn)T作TK⊥BC,垂足為K,則四邊形EBKT為矩形.
根據(jù)折疊的性質(zhì),得EB=QT,∠EBT=∠QTB,BT=TB.
∴△EBT≌△QTB(SAS).
∴∠BQT=∠TEB=90°.
∴BQ⊥PT.
?
問題2:①將剩余部分的證明過程補(bǔ)充完整;
②若將圖3中的點(diǎn)S與點(diǎn)D重合,重復(fù)(2)中的操作過程得到圖6,請(qǐng)利用圖6計(jì)算tan15°的值,請(qǐng)直接寫出結(jié)果.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【答案】(1)圖形見解答;
(2)①證明過程見解答;
②2-.
(2)①證明過程見解答;
②2-
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明:本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有,未經(jīng)書面同意,不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布:2024/5/16 8:0:9組卷:84引用:1難度:0.5
相似題
-
1.探究問題:
(1)方法感悟:
如圖①,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為DC,BC邊上的點(diǎn),且滿足∠EAF=45°,連接EF,求證DE+BF=EF.
感悟解題方法,并完成下列填空:
證明:延長(zhǎng)CB到G,使BG=DE,連接AG,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=AD,∠ABC=∠D=90°,
∴∠ABG=∠D=90°,
∴△ADE≌△ABG.
∴AG=AE,∠1=∠2;
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠BAD=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=45°.
即∠GAF=∠.
又AG=AE,AF=AF,
∴△GAF≌.
∴FG=EF,
∵FG=FB+BG,
又BG=DE,
∴DE+BF=EF.
變化:在圖①中,過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M,請(qǐng)直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系 ;
(2)方法遷移:
如圖②,將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC,E,F(xiàn)分別是BC,CD邊上的點(diǎn),∠EAF=∠BAD,連接EF,過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M,試猜想DF,BE,EF之間有何數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.12
(3)問題拓展:
如圖③,在四邊形ABCD中,AB=AD,E,F(xiàn)分別為DC,BC上的點(diǎn),滿足∠EAF=∠DAB,試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí),可使得DE+BF=EF.請(qǐng)直接寫出你的猜想(不必說明理由).猜想:∠B與∠D滿足關(guān)系:.12發(fā)布:2025/6/24 19:0:1組卷:880引用:1難度:0.1 -
2.已知△ABC是等邊三角形,四邊形ADEF是菱形,∠ADE=120°(AD>AB).
(1)如圖①,當(dāng)AD與邊BC相交,點(diǎn)D與點(diǎn)F在直線AC的兩側(cè)時(shí),BD與CF的數(shù)量關(guān)系為
(2)將圖①中的菱形ADEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°),如圖②.
Ⅰ.判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立,請(qǐng)利用圖②證明你的結(jié)論.
Ⅱ.若AC=4,AD=6,當(dāng)△ACE為直角三角形時(shí),直接寫出CE的長(zhǎng)度.發(fā)布:2025/6/25 7:30:2組卷:365引用:4難度:0.1 -
3.如圖,四邊形ABCD是正方形,E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),F(xiàn)是正方形ABCD外一點(diǎn),連接BE、CE、DE、BF、CF、EF.
(1)若∠EDC=∠FBC,ED=FB,試判斷△ECF的形狀,并說明理由.
(2)在(1)的條件下,當(dāng)BE:CE=1:2,∠BEC=135°時(shí),求BE:BF的值.
(3)在(2)的條件下,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為(3+3)cm,∠EDC=30°,求△BCF的面積.7發(fā)布:2025/6/24 17:30:1組卷:59引用:1難度:0.5
相關(guān)試卷