在相似的復(fù)習(xí)課中，同學(xué)們遇到了一道題：已知∠C=90°，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)三種不同方法，將Rt△ABC分割成四個(gè)小三角形，使每個(gè)小三角形與原三角形相似．
（1）甲同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖1分割方法：D是斜邊AB的中點(diǎn)，過D分別作DE⊥AC，DF⊥BC，請(qǐng)判斷甲同學(xué)的做法是否正確，并說明理由．
（2）乙同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖2分割方法，過點(diǎn)D作FD⊥AB，DE⊥BC，連結(jié)EF，易證△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，但是只有D在AB特殊位置時(shí)，才能證明另兩個(gè)三角形與原三角形相似，李老師通過幾何畫板，發(fā)現(xiàn)∠A=30°時(shí)，ADDB=34，∠A=45°時(shí)，ADDB=12，∠A=60°時(shí)，ADDB=14．猜測(cè)對(duì)于任意∠A，當(dāng)ADDB=AC2AB2AC2AB2（用AC，BC或AB相關(guān)代數(shù)式表示），結(jié)論成立．請(qǐng)補(bǔ)充條件并證明．
（3）在普通三角形中，顯然連結(jié)三角形中位線分割成四個(gè)小三角形與原三角形相似．你能參考乙同學(xué)的分割方法找到其他分割方法嗎？請(qǐng)做出示意圖并作適當(dāng)分割說明（不要求證明過程）．
AD
DB
=
3
4
AD
DB
=
1
2
AD
DB
=
1
4
AD
DB
A
C
2
A
B
2
A
C
2
A
B
2
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】
A
C
2
A
B
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：109引用：1難度：0.1
相似題
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1．如圖1，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)P為斜邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作射線PD⊥PE，分別交AC、BC于點(diǎn)D，E．
（1）問題產(chǎn)生
若P為AB中點(diǎn)，當(dāng)PD⊥AC，PE⊥BC時(shí)，=；PDPE
（2）問題延伸
在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，的值是否會(huì)發(fā)生改變？如果不變，請(qǐng)證明；如果改變，請(qǐng)說明理由；PDPE
（3）問題解決
如圖3，連接DE，若△PDE與△ABC相似，求BP的值．
發(fā)布：2025/6/14 0:0:1組卷：966引用：6難度：0.1 -
2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BO并延長(zhǎng)交邊CD或邊AD于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在CD上，
①求證：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；ADBC
（2）若DE=2，OE=3，求CD的長(zhǎng)．發(fā)布：2025/6/13 20:0:1組卷：4162引用：7難度：0.4 -
3．從三角形（不是等腰三角形）的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中，一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．
（1）如圖①，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；
（3）如圖②，在△ABC中，AC=3，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng)．3
發(fā)布：2025/6/13 23:0:1組卷：439引用：2難度：0.2