當(dāng)直線y=kx+b（k、b為常數(shù)且k≠0）與拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與拋物線相切，直線叫做拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)，其切點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）為相應(yīng)方程組y=kx+b y=ax2+bx+c
的解．如將直線y=4x與拋物線y=x2+4，聯(lián)合得方程組y=4x y=x2+4
，從而得到方程x2+4=4x,解得x1=x2=2，故相應(yīng)方程組的解為x1=x2=2 y1=y2=8
，所以，直線y=4x與拋物線y=x2+4相切，其切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）．
（1）直線m：y=2x-1與拋物線y=x2相切嗎？如相切，請(qǐng)求出切點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)A（1，-3）的直線n與拋物線y=x2也相切，求直線n的函數(shù)表達(dá)式，并求出直線m與直線n的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖，已知直線y=kx+3（k為常數(shù)且k≠0）與拋物線y=x2交于C、D，過點(diǎn)C、D分別作拋物線的切線，這兩條切線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線交CD于點(diǎn)Q，試說明點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)．
y = kx + b |
y = a x 2 + bx + c |
y = 4 x |
y = x 2 + 4 |
x 1 = x 2 = 2 |
y 1 = y 2 = 8 |
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）直線m：y=2x-1與拋物線y=x2相切，切點(diǎn)是（1，1）；
（2）直線n的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x-1，直線m與直線n的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-1）或直線n的解析式為y=6x-9，直線m與直線n的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）；
（3）證明見解答過程．
（2）直線n的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x-1，直線m與直線n的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-1）或直線n的解析式為y=6x-9，直線m與直線n的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）；
（3）證明見解答過程．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：359引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/6/25 8:30:1組卷：6973引用：21難度：0.1 -
2．給定一個(gè)函數(shù)，如果這個(gè)函數(shù)的圖象上存在一個(gè)點(diǎn)，它的橫、縱坐標(biāo)相等，那么這個(gè)點(diǎn)叫做該函數(shù)的不變點(diǎn)．
（1）一次函數(shù)y=3x-2的不變點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）二次函數(shù)y=x2-3x+1的兩個(gè)不變點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q（P在Q的左側(cè)），將點(diǎn)Q繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)R，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．
（3）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3的兩個(gè)不變點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如圖，設(shè)拋物線y=ax2+bx-3與線段AB圍成的封閉圖形記作M．點(diǎn)C為一次函數(shù)y=-x+m的不變點(diǎn)，以線段AC為邊向下作正方形ACDE．當(dāng)D、E兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在封閉圖形M的內(nèi)部（不包含邊界）時(shí)，求出m的取值范圍．13發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：348引用：2難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．發(fā)布：2025/6/25 6:0:1組卷：1080引用：59難度：0.5