已知等邊△ABC，點(diǎn)P，Q分別是直線AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，若點(diǎn)P從頂點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)B沿BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接CP交AQ于M．
①求證：△ABQ≌△CAP；
②點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，Q在BC上，若PQ=PC，請(qǐng)判斷AP，CQ和AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】（1）①證明見(jiàn)解答過(guò)程；
②點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ不變化，∠CMQ=60°；
（2）AC=AP+CQ，理由見(jiàn)解答過(guò)程．
②點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ不變化，∠CMQ=60°；
（2）AC=AP+CQ，理由見(jiàn)解答過(guò)程．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/9/13 6:0:10組卷：143引用：2難度：0.1
相似題
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1．已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D，我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．
（1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫(xiě)出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②若∠COD=60°，求證：AC+BD=OC．3發(fā)布：2025/5/23 17:0:1組卷：258引用：3難度：0.1 -
2．【問(wèn)題初探】
（1）如圖1，等腰Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AB邊一點(diǎn)，以BD為腰向下作等腰Rt△BDE，∠DBE=90°．連接CD，CE，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接AF．猜想并證明線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
【深入探究】
（2）在（1）的條件下，如圖2，將等腰Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【拓展遷移】
（3）如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．在Rt△BDE中，∠DBE=90°，．連接CD，CE，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接AF．Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠BDE=12∠BAC
①線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系為：；
②若，BC=413，當(dāng)點(diǎn)F在等腰△ABC內(nèi)部且∠BCF的度數(shù)最大時(shí)，線段AF的長(zhǎng)度為 ．BD=23發(fā)布：2025/5/23 17:0:1組卷：944引用：4難度：0.1 -
3．已知CD是△ABC中∠C的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AD=m,BD=n.△ADE與△BDF的面積之和為S．
（1）當(dāng)∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC時(shí)，如圖1，若∠B=45°，m=3，則n=，S=；2
（2）如圖2，當(dāng)∠ACB=∠EDF=90°時(shí)，
①求證：DE=DF；
②直接寫(xiě)出S與m,n的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，當(dāng)∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出S的大?。?br />
發(fā)布：2025/5/23 16:0:1組卷：232引用：1難度：0.1