已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點連線相互垂直．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M（1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)點N（3，2），記直線AN，BN的斜率分別為k1，k2，求證：k1+k2為定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標準方程．
【答案】（Ⅰ）．
（II）①當直線l的斜率不存在時，由
解得．
設(shè)，，則為定值．
②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1）．
將y=k（x-1）代入整理化簡，得（3k2+1）x2-6k2x+3k2-3=0．
依題意，直線l與橢圓C必相交于兩點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則，．
又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
所以=
==
==．
綜上得k1+k2為常數(shù)2．
x
2
3
+
y
2
=
1
（II）①當直線l的斜率不存在時，由
x = 1 |
x 2 3 + y 2 = 1 |
x
=
1
，
y
=±
6
3
設(shè)
A
（
1
，
6
3
）
B
（
1
，-
6
3
）
k
1
+
k
2
=
2
-
6
3
2
+
2
+
6
3
2
=
2
②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1）．
將y=k（x-1）代入
x
2
3
+
y
2
=
1
依題意，直線l與橢圓C必相交于兩點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則
x
1
+
x
2
=
6
k
2
3
k
2
+
1
x
1
x
2
=
3
k
2
-
3
3
k
2
+
1
又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
所以
k
1
+
k
2
=
2
-
y
1
3
-
x
1
+
2
-
y
2
3
-
x
2
（
2
-
y
1
）
（
3
-
x
2
）
+
（
2
-
y
2
）
（
3
-
x
1
）
（
3
-
x
1
）
（
3
-
x
2
）
=
[
2
-
k
（
x
1
-
1
）
]
（
3
-
x
2
）
+
[
2
-
k
（
x
2
-
1
）
]
（
3
-
x
1
）
9
-
3
（
x
1
+
x
2
）
+
x
1
x
2
12
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
k
[
2
x
1
x
2
-
4
（
x
1
+
x
2
）
+
6
]
9
-
3
（
x
1
+
x
2
）
+
x
1
x
2
=
12
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
k
[
2
×
3
k
2
-
3
3
k
2
+
1
-
4
×
6
k
2
3
k
2
+
1
+
6
]
9
-
3
×
6
k
2
3
k
2
+
1
+
3
k
2
-
3
3
k
2
+
1
12
（
2
k
2
+
1
）
6
（
2
k
2
+
1
）
=
2
綜上得k1+k2為常數(shù)2．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：669引用：25難度：0.3
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