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已知雙曲線Γ：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的焦距為4，直線l：x-my-4=0（m∈R）與Γ交于兩個(gè)不同的點(diǎn)D、E，且m=0時(shí)直線l與Γ的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形．
（1）求雙曲線Γ的方程；
（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段DE為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)A、B分別是Γ的左、右兩頂點(diǎn)，線段BD的垂直平分線交直線BD于點(diǎn)P，交直線AD于點(diǎn)Q，求證：線段PQ在x軸上的射影長(zhǎng)為定值．

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：406引用：4難度：0.5
相似題

  • 1．已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為
    （
    2
    5
    ，
    0
    ）
    ，離心率為
    5
    ．
    （1）求C的方程；
    （2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在定直線x=-1上運(yùn)動(dòng)，直線PA1與PA2雙曲線分別交于M，N兩點(diǎn)，證明：直線MN恒過定點(diǎn)．

    發(fā)布：2024/10/25 5:0:2組卷：96引用：1難度：0.2

  • 菁優(yōu)網(wǎng)2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線E：
    x
    2
    a
    2
    -
    y
    2
    b
    2
    =
    1
    （a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A，過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC的面積為
    2
    +
    1
    ．
    （1）求雙曲線E的方程；
    （2）若直線l：y=kx-1與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，求
    |
    MN
    |
    |
    PQ
    |
    的取值范圍．

    發(fā)布：2024/10/31 12:30:1組卷：473引用：9難度：0.5

  • 3．已知雙曲線
    C
    ：
    x
    2
    a
    2
    -
    y
    2
    b
    2
    =
    1
    （
    a
    ＞
    0
    ，
    b
    ＞
    0
    ）
    的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段BF1的中點(diǎn)，且BF1⊥BF2，則C的離心率為（　?。?/h2>

    發(fā)布：2024/11/8 21:0:2組卷：420引用：8難度：0.5
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