綜合與實踐
【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師給出了這樣一個問題：
如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，射線AD平分∠BAC，將射線AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α，得到射線l,在射線l上取點E，使得AE=AB，連接BE分別交AD，AC于點M，N，連接CE．問：∠CBE，∠MAN之間的數(shù)量關(guān)系是什么？線段DM，CN之間的數(shù)量關(guān)系是什么？
?
【特例探究】“勤奮”小組的同學(xué)們先將問題特殊化，探究過程如下：
甲同學(xué)：當(dāng)α=60°時，如圖2，通過探究可以發(fā)現(xiàn)，△AMN，△ACE，△ECN都是等腰三角形；
乙同學(xué)：可以證明△ABM≌△AEN，得到BM=EN；
丙同學(xué)：過點A作AF⊥MN，垂足為F，如圖3，則FM=FN；
丁同學(xué)：可以證明△BDM∽△AFM，△ECN∽△AMN，則
BM
AM
=
DM
FM
，
EN
AN
=
CN
MN
，…．
（1）根據(jù)以上探究過程，得出結(jié)論：
①∠CBE，∠MAN之間的數(shù)量關(guān)系是
∠CBE=
1
2
∠
MAN
∠CBE=
1
2
∠
MAN
；
②線段DM，CN之間的數(shù)量關(guān)系是
DM=
1
2
CN
DM=
1
2
CN
．
【類比探究】
（2）“智慧”小組的同學(xué)們在“勤奮”小組的基礎(chǔ)上，進一步探究一般情形，當(dāng)∠BAC=α?xí)r，如圖1，（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖1的情形進行證明；如果不成立，請說明理由．
【遷移應(yīng)用】
（3）“創(chuàng)新”小組的同學(xué)們改變了條件，當(dāng)α=90°時，如圖4，若射線AD是∠BAC的三等分角線，AB=2
3
+
2
，其他條件不變，請直接寫出MN的長．

【答案】∠CBE=

∠

MAN

；DM=

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/6/17 8:0:9組卷：364引用：1難度：0.1

相似題

2．【閱讀】“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式，角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……
（1）【問題提出】如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證
PA
PB
=
AC
BC
．

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點B作BD∥PA，交PC的延長線于點D，利用“三角形相似”．
小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，利用“等面積法”．

請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明；
（2）【理解應(yīng)用】填空：如圖②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于點D，則BD長度為
；
（3）【深度思考】如圖③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一點，連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊點C恰好落在邊AB上的E點處．若AC=1，AB=2，則DE的長為
；
（4）【拓展升華】如圖④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD為∠BAC的角平分線，AD的垂直平分線EF交BC延長線于F，連接AF，當(dāng)BD=3時，AF的長為
．

發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：312引用：1難度：0.1

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