隨機(jī)將1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A、B兩組，每組n個(gè)數(shù)，A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為b1，最大數(shù)為b2；記ξ=a2-a1，η=b2-b1．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P（C）；
（3）對(duì)（2）中的事件C，C表示C的對(duì)立事件，判斷P（C）和P（C）的大小關(guān)系，并說明理由．
C
C
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．
【答案】（1）隨機(jī)變量ξ的分布列為：
ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，；當(dāng)n?3時(shí)，；
（3）當(dāng)n=2時(shí)，；當(dāng)n?3時(shí)，．
理由如下：
等價(jià)于，即，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（*）式，
1）當(dāng)n=3時(shí)，（*）式左邊=16，右邊=20，（*）式成立；
2）假設(shè) n=m 時(shí)成立 （m?3）．所以，
所以
=
=
=
所以n=m+1時(shí)（*）式成立，
綜上，對(duì)于任意正整數(shù)n，n?3，（*）式均成立，
所以當(dāng)n=2時(shí)，；當(dāng)n?3時(shí)，．
| ξ | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 1 5 |
3 10 |
3 10 |
1 5 |
7
2
（2）當(dāng)n=2時(shí)，
P
（
C
）
=
2
3
P
（
C
）
=
2
（
2
+
n
-
2
∑
k
=
1
C
k
2
k
）
C
n
2
n
（3）當(dāng)n=2時(shí)，
P
（
C
）
=
2
3
＞
1
3
=
P
（
C
）
P
（
C
）
＜
P
（
C
）
理由如下：
P
（
C
）
＜
P
（
C
）
P
（
C
）
＜
1
2
4
（
2
+
n
-
2
∑
k
C
k
2
k
）
＜
C
n
2
n
（
*
）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（*）式，
1）當(dāng)n=3時(shí)，（*）式左邊=16，右邊=20，（*）式成立；
2）假設(shè) n=m 時(shí)成立 （m?3）．所以
4
（
2
+
m
-
2
∑
k
=
1
C
k
2
k
）
＜
C
m
2
m
所以
4
（
2
+
m
-
1
∑
k
=
1
C
k
2
k
）
＜
C
m
2
m
+
4
C
m
-
1
2
m
-
2
=
（
2
m
）
!
（
m
!
）
2
+
4
×
（
2
m
-
2
）
!
（
m
-
1
）
!
×
（
m
-
1
）
!
=
（
2
m
-
2
）
!
×
2
m
×
（
4
m
-
1
）
×
（
m
+
1
）
2
（
m
+
1
）
!
×
（
m
+
1
）
!
=
C
m
+
1
2
m
+
2
×
2
m
（
4
m
-
1
）
×
（
m
+
1
）
2
（
2
m
+
2
）
（
2
m
+
1
）
×
2
m
×
（
2
m
-
1
）
=
C
m
+
1
2
m
+
2
×
（
4
m
-
1
）
×
（
m
+
1
）
2
（
2
m
+
1
）
（
2
m
-
1
）
=
C
m
+
1
2
m
+
2
×
4
m
2
+
3
m
-
1
8
m
2
-
2
＜
（
m
+
1
）
所以n=m+1時(shí)（*）式成立，
綜上，對(duì)于任意正整數(shù)n，n?3，（*）式均成立，
所以當(dāng)n=2時(shí)，
P
（
C
）
=
2
3
＞
1
3
=
P
（
C
）
P
（
C
）
＜
P
（
C
）
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：877引用：8難度：0.1
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-
1．某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．
（Ⅰ）求獲得復(fù)賽資格的人數(shù)；
（Ⅱ）從初賽得分在區(qū)間（110，150]的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間（110，130]與（130，150]各抽取多少人？
（Ⅲ）從（Ⅱ）抽取的7人中，選出3人參加全市座談交流，設(shè)X表示得分在區(qū)間（130，150]中參加全市座談交流的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：133引用：7難度：0.5 -
2．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表：
若離散型隨機(jī)變量Y=-3X+1，且E（X）=3，則（ ?。?/h2>X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 發(fā)布：2024/12/29 13:0:1組卷：195引用：6難度：0.5 -
3．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，用X表示所選3人中女生的人數(shù)，則E（X）為（ ?。?/h2>
發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：137引用：6難度：0.7
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