如圖1所示，正方形ABCD的邊長為2，點E、F分別為邊AB、AD的中點，如圖2所示，將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0＜α≤90°），射線BE、DF交于點P．
（1）求證△ABE≌△ADF；
（2）當(dāng)△PEF為等腰三角形時，求旋轉(zhuǎn)角度α．
（3）當(dāng)射線BE恰好通過AD的中點H，求PF的長．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見解析；
（2）60°；
（3）PF的長為或．
（2）60°；
（3）PF的長為
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【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：57引用：1難度：0.4
相似題
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1．問題提出
（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．請在△ABC內(nèi)畫一個正方形，使得這個正方形一個內(nèi)角為∠C，其余頂點落在△ABC的邊上；
問題探究
（2）如圖，△ABC為一塊銳角三角形木板，其中BC=10，S△ABC=25．
如圖2，若要在△ABC中做出一個正方形，使正方形邊落在BC上，另外兩個頂點分別落在AB，AC上，則該正方形的面積為 ．
如圖3，若要在△ABC中做出一個平行四邊形，使平行四邊形一邊EF落在BC上，另兩頂點落在AB，AC上，請求出滿足條件的平行四邊形面積的最大值．
問題解決
（3）如圖4有一四邊形ABCD，AC與BD交于O，AC=10，BD=20，∠AOB=60°，現(xiàn)要在四邊形ABCD中截出平行四邊形EFGH，使得平行四邊形一邊EF與BD平行，四個頂點E，F(xiàn)，G，H落在ABCD的四邊上，當(dāng)S?EFGH=S四邊形ABCD時EF=．14
發(fā)布：2025/5/25 17:30:1組卷：358引用：3難度：0.1 -
2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=4，DC=3，AD=6．點P從點D出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為每秒1個單位；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CD方向勻速運動，每秒2個單位．當(dāng)點Q運動到點D時，點P隨之停止運動．連接BD、PQ、BP、BQ，設(shè)運動的時間為t秒（0＜t＜1.5）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，BD垂直平分PQ？
（2）求△BPQ的面積y與運動時間t的關(guān)系式．
（3）是否存在某一時刻t,使S△BPQ：S四邊形ABCD=2：5，并說明理由．
（4）是否存在某一時刻t,使PQ⊥BQ，并說明理由．發(fā)布：2025/5/25 17:30:1組卷：181引用：1難度：0.3 -
3．【問題情境】數(shù)學(xué)課上，王老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長線上一點，且BE=AB，連接DE，交BC于點M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM．試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系．
【探究展示】小明發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：
證明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴.（平行線分線段成比例）
∵BE=AB，
∴=1．EMDM
∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE邊上的中線，
又∵AD=AE，
∴.（等腰三角形的“三線合一”）
∴AM垂直平分DE．
【反思交流】
（1）請將上述證明過程補充完整；
（2）小穎受到小明的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，分別以點B，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點M，連接MF．若MF=AB=1，請直接寫出m的值．發(fā)布：2025/5/25 17:30:1組卷：266引用：2難度：0.3