設(shè)橢圓C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=1（a＞b＞0），右頂點(diǎn)是A（2，0），離心率為

1

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l與橢圓交于兩點(diǎn)M，N（M，N不同于點(diǎn)A），若

AM

?

AN

=0，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．

【答案】（1）．
（2）證明：當(dāng)直線MN斜率不存在時，設(shè)l_MN：x=m，
與橢圓方程聯(lián)立得：y=，|MN|=2，
設(shè)直線MN與x軸交于點(diǎn)B，|MB|=|AM|，即2-m=，
∴m=或m=2（舍），
∴直線m過定點(diǎn)（，0）；
當(dāng)直線MN斜率存在時，設(shè)直線MN斜率為k，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則直線MN：y=kx+b，
與橢圓方程聯(lián)立，得（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
x₁+x₂=-，x₁x₂=，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=kx₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²，
Δ=（8kb）²-4（4k²+3）（4b²-12）＞0，k∈R，
=0，則（x₁-2，y₁）（x₂-2，y₂）=0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，
∴7b²+4k²+16kb=0，
∴b=-k，或b=-2k，
∴直線lMN：y=k（x-）或y=k（x-2），
∴直線過定點(diǎn)（，0）或（2，0）舍去；
綜上知直線過定點(diǎn)（，0）．