焦點在x軸上的橢圓C:x2a2+y2b2=1經(jīng)過點(2,2),橢圓C的離心率為22.F1,F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點,P為橢圓上任意點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點M為OF2的中點(O為坐標(biāo)原點),過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A,B兩點,是否存在實數(shù)λ,使得λ|OP|2=|MA|?|MB|;若存在,請求出λ的值,若不存在,請說明理由.
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(
2
,
2
)
2
2
【考點】直線與橢圓的綜合.
【答案】(1).
(2)若直線的斜率不存在時,|OP|=2,,
所以;
當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立直線l與橢圓方程
,消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0,
所以
.
因為OP∥l,設(shè)直線OP的方程為y=kx,
聯(lián)立直線OP與橢圓方程
,消去y,得(2k2+1)x2=8,解得.
∴,∴,
同理,∴|MA|?|MB|=(1+k2)|(x1-1)(x2-1)|,
因為,∴,
故,存在滿足條件,
綜上可得,存在滿足條件.
x
2
8
+
y
2
4
=
1
(2)若直線的斜率不存在時,|OP|=2,
|
MA
|
=
|
MB
|
=
14
2
所以
|
MA
|
|
MB
|
=
7
2
=
4
λ
?
λ
=
7
8
當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立直線l與橢圓方程
y = k ( x - 1 ) |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
所以
x 1 + x 2 = 4 k 2 2 k 2 + 1 |
x 1 x 2 = 2 k 2 - 8 2 k 2 + 1 |
因為OP∥l,設(shè)直線OP的方程為y=kx,
聯(lián)立直線OP與橢圓方程
y = kx |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
x
2
=
8
2
k
2
+
1
∴
|
OP
|
2
=
x
2
+
y
2
=
(
1
+
k
2
)
8
2
k
2
+
1
|
MA
|
=
(
x
1
-
1
)
2
+
y
2
1
=
1
+
k
2
|
x
1
-
1
|
同理
|
MB
|
=
1
+
k
2
|
x
2
-
1
|
因為
(
1
-
x
1
)
?
(
x
2
-
1
)
=
-
[
x
1
x
2
-
(
x
1
+
x
2
)
+
1
]
=
7
2
k
2
+
1
|
MA
|
?
|
MB
|
=
(
1
+
k
2
)
7
2
k
2
+
1
故
7
8
|
OP
|
2
=
|
MA
|
?
|
MB
|
λ
=
7
8
綜上可得,存在
λ
=
7
8
【解答】
【點評】
聲明:本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有,未經(jīng)書面同意,不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布:2024/7/17 8:0:9組卷:128引用:7難度:0.5
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