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焦點在x軸上的橢圓C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
經(jīng)過點
2
,
2
,橢圓C的離心率為
2
2
.F1,F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點,P為橢圓上任意點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點M為OF2的中點(O為坐標(biāo)原點),過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A,B兩點,是否存在實數(shù)λ,使得λ|OP|2=|MA|?|MB|;若存在,請求出λ的值,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)
x
2
8
+
y
2
4
=
1

(2)若直線的斜率不存在時,|OP|=2,
|
MA
|
=
|
MB
|
=
14
2
,
所以
|
MA
|
|
MB
|
=
7
2
=
4
λ
?
λ
=
7
8

當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立直線l與橢圓方程
y
=
k
x
-
1
x
2
8
+
y
2
4
=
1
,消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0,
所以
x
1
+
x
2
=
4
k
2
2
k
2
+
1
x
1
x
2
=
2
k
2
-
8
2
k
2
+
1

因為OP∥l,設(shè)直線OP的方程為y=kx,
聯(lián)立直線OP與橢圓方程
y
=
kx
x
2
8
+
y
2
4
=
1
,消去y,得(2k2+1)x2=8,解得
x
2
=
8
2
k
2
+
1

|
OP
|
2
=
x
2
+
y
2
=
1
+
k
2
8
2
k
2
+
1
,∴
|
MA
|
=
x
1
-
1
2
+
y
2
1
=
1
+
k
2
|
x
1
-
1
|
,
同理
|
MB
|
=
1
+
k
2
|
x
2
-
1
|
,∴|MA|?|MB|=(1+k2)|(x1-1)(x2-1)|,
因為
1
-
x
1
?
x
2
-
1
=
-
[
x
1
x
2
-
x
1
+
x
2
+
1
]
=
7
2
k
2
+
1
,∴
|
MA
|
?
|
MB
|
=
1
+
k
2
7
2
k
2
+
1
,
7
8
|
OP
|
2
=
|
MA
|
?
|
MB
|
,存在
λ
=
7
8
滿足條件,
綜上可得,存在
λ
=
7
8
滿足條件.
【解答】
【點評】
聲明:本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有,未經(jīng)書面同意,不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布:2024/7/17 8:0:9組卷:128引用:7難度:0.5
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  • 1.設(shè)橢圓
    x
    2
    a
    2
    +
    y
    2
    b
    2
    =1(a>b>0)的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為
    5
    3
    ,|AB|=
    13

    (Ⅰ)求橢圓的方程;
    (Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點,直線l與直線AB交于點M,且點P,M均在第四象限.若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,求k的值.

    發(fā)布:2024/12/29 12:30:1組卷:4514引用:26難度:0.3
  • 2.已知橢圓C:
    x
    2
    a
    2
    +
    y
    2
    b
    2
    =1(a>b>0)的一個頂點坐標(biāo)為A(0,-1),離心率為
    3
    2

    (Ⅰ)求橢圓C的方程;
    (Ⅱ)若直線y=k(x-1)(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點P,Q,線段PQ的中點為M,點B(1,0),求證:點M不在以AB為直徑的圓上.

    發(fā)布:2024/12/29 12:30:1組卷:370引用:4難度:0.5
  • 3.如果橢圓
    x
    2
    36
    +
    y
    2
    9
    =
    1
    的弦被點(4,2)平分,則這條弦所在的直線方程是( ?。?/h2>

    發(fā)布:2024/12/18 3:30:1組卷:456引用:3難度:0.6
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