如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合）．設BE=m,CD=n.
（1）求證：△ABE∽△DCA；
（2）求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）．在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD2+CE2=DE2．
【考點】相似形綜合題．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：99引用：2難度：0.5
相似題
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1．【感知】
小明同學復習“相似三角形”的時候遇到了這樣的一道題目：
小明同學分析后發(fā)現(xiàn)，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，再結合已知條件可以得到△ABD∽△DCE．請根據小明的分析，結合圖①，寫出完整的證明過程．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，過點D作∠ADE=∠B，交AC于點E．求證：△ABD∽△DCE．
【探究】
在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D為BC上一點．
（1）如圖②，過點D作∠ADE=∠B，交AC于點E．當DE∥AB時，AD的長為 ．
（2）如圖③，過點D作∠FDE=∠B，分別交AB、AC于點F、E．當CD=4時，BF的長的取值范圍為 ．
發(fā)布：2025/6/14 15:30:1組卷：349引用：5難度：0.3 -
2．如圖1，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，點P為斜邊AB上一點，過點P作射線PD⊥PE，分別交AC、BC于點D，E．
（1）問題產生
若P為AB中點，當PD⊥AC，PE⊥BC時，=；PDPE
（2）問題延伸
在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點P旋轉到圖2的位置，的值是否會發(fā)生改變？如果不變，請證明；如果改變，請說明理由；PDPE
（3）問題解決
如圖3，連接DE，若△PDE與△ABC相似，求BP的值．
發(fā)布：2025/6/14 0:0:1組卷：966引用：6難度：0.1 -
3．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在x軸負半軸上，頂點C在x軸正半軸上，頂點B在第一象限，過點B作BD⊥y軸于點D，線段OA，OC的長是一元二次方程x2-12x+36=0的兩根，BC=4，∠BAC=45°．5
（1）求點A，C的坐標；
（2）反比例函數y=的圖象經過點B，求k的值；kx
（3）在y軸上是否存在點P，使以P，B，D為頂點的三角形與以P，O，A為頂點的三角形相似？若存在，請寫出滿足條件的點P的個數，并直接寫出其中兩個點P的坐標；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/6/14 10:30:2組卷：1994引用：7難度：0.5