綜合與實(shí)踐：在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，王老師給每位同學(xué)各發(fā)了一張正方形紙片，請(qǐng)同學(xué)們思考如何僅通過折紙的方法來確定該正方形一邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)．
【操作探究】
“啟航”小組的同學(xué)在經(jīng)過一番思考和討論交流后，進(jìn)行了如下操作：
第1步：如圖1所示，先將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，然后展開鋪平，折痕為EF；
第2步：再將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，然后展開鋪平，折痕為AC，AC交EF于點(diǎn)P；
第3步：沿DE折疊正方形紙片ABCD，DE交AC于點(diǎn)G；
第4步：過點(diǎn)G折疊正方形紙片ABCD，使折痕MN∥AD．
則點(diǎn)M為AB邊的三等分點(diǎn)．證明過程如下：
由題意，可知E是AB的中點(diǎn)，P是AC的中點(diǎn)，
∴EP=12BC=12AD，EP∥BC∥AD．
∴∠ADG=∠PEG，∠DAG=∠EPG．
∴△ADG ∽∽△PEG．∴AGPG=DAEP=2．
設(shè)PG=x,則AG=2x2x．
∴AP=PC=3x.∴AGGC=2xx+3x=12．
易得MG∥BC．∴AGGC=AMMB=12，即點(diǎn)M為AB邊的三等分點(diǎn)．
“奮進(jìn)”小組的同學(xué)是這樣操作的：
第1步：如圖2所示，先將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，然后展開鋪平，折痕為EF；
第2步：將BC邊沿CE翻折到GC的位置；
第3步：延長EG交AD于點(diǎn)H．
（1）“啟航”小組的證明過程中，兩處“”上的內(nèi)容依次為 ∽∽，2x2x．
（2）結(jié)合“奮進(jìn)”小組的操作過程，判斷點(diǎn)H是否為AD邊的三等分點(diǎn)，并說明理由．
（3）【拓展應(yīng)用】在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將△EBC沿CE翻折得到△EGC，直線EG與直線AD交于點(diǎn)H．若DH=13AD，請(qǐng)直接寫出BE的長．
EP
=
1
2
BC
=
1
2
AD
AG
PG
=
DA
EP
=
2
AG
GC
=
2
x
x
+
3
x
=
1
2
AG
GC
=
AM
MB
=
1
2
DH
=
1
3
AD
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】∽；2x；∽；2x
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：490引用：3難度：0.1
相似題
-
1．小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展．
（1）溫故：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，且．若BC=6，AD=4，則正方形PQMN的邊長等于 ；PNBC+MNAD=1
（2）操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作：如圖2，任意畫△ABC，在AB上任取一點(diǎn)P'，畫正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC邊上，N'在△ABC內(nèi)，連結(jié)BN'并延長交AC于點(diǎn)N，畫NM⊥BC于點(diǎn)M，NP⊥NM交AB于點(diǎn)P，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，得到四邊形PQMN；
（3）推理：如圖3，若點(diǎn)E是BN的中點(diǎn)，求證：EP=EQ；
（4）拓展：在（2）的條件下，射線BN上截取NE=NM，連結(jié)EQ，EM（如圖4）．當(dāng)∠NBM=30°時(shí)，猜想∠QEM的度數(shù)，并嘗試證明．
請(qǐng)幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題．發(fā)布：2025/6/7 9:0:2組卷：103引用：3難度：0.3 -
2．圖①、圖②、圖③都是5×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．請(qǐng)按要求解答問題．（畫圖只能用無刻度的直尺，保留作圖痕跡）
要求：（1）如圖①，=；BECE
（2）如圖②，在BC上找一點(diǎn)F使BF=2；
（3）如圖③，在AC上找一點(diǎn)M，連結(jié)BM、DM，使△ABM∽△CDM．
發(fā)布：2025/6/7 8:30:2組卷：210引用：4難度：0.5 -
3．感知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，△ABP與△PCD是否相似？（填“是”或“否”）．
探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí)，求證：△ABP∽△PCD．
拓展：如圖③，在△ABC中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn) D、E分別在邊AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，
BC=，CE=9，則DE的長為 ．122
發(fā)布：2025/6/7 5:0:1組卷：395引用：5難度：0.4
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