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試題詳情
已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）外接矩形的面積S=82，且（2，1）與點M在橢圓Γ上，橢圓Γ的左、右頂點分別為A，B．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）已知點N在圓O：x2+y2=b2上，MN⊥y軸，若直線MA，MB與y軸的交點分別為C，D．求證：sin∠CND為定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）；
（2）證明：設(shè)M（x0，y0），AM：y=k（x+2）（k≠0），令x=0，解得y=2k，∴C（0，2k）．
由
化為：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-4=0（k≠0）．
∴-2x0=，解得x0=，∴y0=．
∴直線BM的斜率=-．
∴BM的方程：y=-（x-2），令x=0，解得y=，∴D（0，）．
設(shè)N（xN，y0），則=（-xN，2k-y0），=（-xN，）．
=0．
．∴NC⊥ND．即∠CND=90°．
∴sin∠CND=1．
x
2
4
+
y
2
2
=
1
（2）證明：設(shè)M（x0，y0），AM：y=k（x+2）（k≠0），令x=0，解得y=2k，∴C（0，2k）．
由
y = k （ x + 2 ） |
x 2 + 2 y 2 = 4 |
∴-2x0=
8
k
2
-
4
1
+
2
k
2
2
-
4
k
2
1
+
2
k
2
4
k
1
+
2
k
2
∴直線BM的斜率=-
1
2
k
∴BM的方程：y=-
1
2
k
1
k
1
k
設(shè)N（xN，y0），則
NC
ND
1
k
-
y
0
NC
?
ND
=
x
N
2
+
y
0
2
+
2
-
2
k
2
+
1
k
y
0
．∴NC⊥ND．即∠CND=90°．
∴sin∠CND=1．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/23 20:38:36組卷：4引用：1難度：0.6
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