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如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于原點O和點A,且其頂點B關于x軸的對稱點坐標為(2,1).
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)拋物線的對稱軸上存在定點F,使得拋物線y=ax2+bx+c上的任意一點G到定點F的距離與點G到直線y=-2的距離總相等.
①證明上述結(jié)論并求出點F的坐標;
②過點F的直線l與拋物線y=ax2+bx+c交于M,N兩點.
證明:當直線l繞點F旋轉(zhuǎn)時,
1
MF
+
1
NF
是定值,并求出該定值;
(3)點C(3,m)是該拋物線上的一點,在x軸,y軸上分別找點P,Q,使四邊形PQBC周長最小,直接寫出P,Q的坐標.

【答案】(1)y=
1
4
x2-x;(2)①F(2,0);②1;(3)Q(0,-
3
10
),P(
6
7
,0).
【解答】
【點評】
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發(fā)布:2024/4/20 14:35:0組卷:2146引用:5難度:0.4
相似題
  • 1.在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx-6(a≠0)與x軸交于點A(-3,0)和點B(1,0),與y軸交于點C,點D在拋物線的對稱軸上.
    (1)若點E在x軸下方的拋物線上,求△ABE面積的最大值.
    (2)拋物線上是否存在一點F,使得以點A,C,D,F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,求出點F的坐標,若不存在,請說明理由.

    發(fā)布:2025/5/23 3:30:1組卷:160引用:1難度:0.5
  • 2.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),且a≠0)與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,已知OA=OC=4OB=4.
    (1)求拋物線的函數(shù)表達式;
    (2)連接BC,AC,若點D在x軸的下方,以A、B、D為頂點的三角形與△ABC全等,平移這條拋物線,使平移后的拋物線經(jīng)過點B與點D,請求出平移后所得拋物線的函數(shù)表達式,并寫出平移過程.

    發(fā)布:2025/5/23 3:30:1組卷:37引用:2難度:0.3
  • 3.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(1,0)和B(-3,0),與y軸交于點C.
    (1)求該二次函數(shù)的表達式.
    (2)如圖1,連接BC,動點D以每秒1個單位長度的速度由A向B運動,同時動點E以每秒
    2
    個單位長度的速度由B向C運動,連接DE,當點E到達點C的位置時,D、E同時停止運動,設運動時間為t秒.當△BDE為直角三角形時,求t的值.
    (3)如圖2,在拋物線對稱軸上是否存在一點Q,使得點Q到x軸的距離與到直線AC的距離相等,若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

    發(fā)布:2025/5/23 4:0:1組卷:584引用:4難度:0.3
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